.
Система, розглядається при для інтервалу часу (0, T).
Для того щоб замкнути систему треба задати тиск. Для завдання закону тиску необхідно врахувати рух стінки кровоносної судини (у нашому випадку артерії). Для опису пружних напружень стінки судини, на практиці найчастіше використовується лінійний закон (закон Гука)
,
де, E - модуль Юнга, - товщина стінки судини.
Тоді з урахуванням (1.2) отримуємо
В
де,.
Ми розглядаємо одновимірну модель гемодинаміки (1.7) з урахуванням зазвичай використовується на практиці спрощує гіпотези, яка полягає у припущенні про Пренебрежимо малості інерційних членів у порівнянні з пружними напруженнями. При такому припущенні закон тиску для системи (1.7) має вигляд:
(1.8)
І система (1.7), (1.8) є системою рівнянь в приватних похідних першого порядку.
Розглядається випадок ? = 1, (для параболічного профілю)
? - Постійний коефіцієнт в'язкості. p> Випадок? = 1 відповідає профілю швидкості з? =?. Для цього профілю швидкості коефіцієнт тертя . Зауважимо, що? ? при? ? ?. Тому, рівняння (1.7), (1.8) з = 8?? є деяким огрубленням загальної одновимірної моделі гемодинаміки. З іншого боку, модель (1.7), (1.8) з = 8?? часто цілком адекватно відображає реальні фізичні процеси, що протікають в артеріальній системі людини. Тому і ми чисельні експерименти проводимо саме для цієї моделі, тобто для рівнянь (1.7) з? = 1 і = 8?? (І використовуємо закон тиску (1.8)). br/>
1.2 Аналіз математичних властивостей моделі
Для простоти будемо припускати, що і (тобто, і модуль Юнга E = const). З урахуванням (1.8) система рівнянь (1.7) записується у квазілінійного вигляді
(2.1)
для вектора невідомих, де
,.
При природному вимозі A> 0 система (2.1) є одномірної квазилинейной гіперболічною системою рівнянь. Матриця В має два дійсних і різних власних значення
, (2.2)
де
В
(). Причому при стандартних фізіологічних умовах типові значення швидкості крові u = Q/A і механічних характеристик стінок посудини такі, що, тобто і. (2.3)
Таким чином, гіперболічна система (2.1) на інтервалі (0, L) має по одній минає характеристиці на кордонах z = 0 і z = L і тому вона вимагає по одному граничній умові на кожному кордоні.
Систему (2.1) на гладких рішеннях можна переписати також у консервативному вигляді, точніше у вигляді гіперболічної системи балансових законів
, (2.4)
де
.
Обговоримо тепер коротко питання про приведення системи (2.1) до канонічного виду. Зауважимо, що гіперболічна система двох рівнянь завжди може бути приведена до канонічного вигляду локально, тобто в досить малій околиці довільної точ...
