риклад: і. Величина називається спектральним радіусом. p> Метод безпосереднього розгортання
Повну проблему власних значень для матриць невисокого порядку можна вирішити методом безпосереднього розгортання. У цьому випадку будемо мати
(2.5)
Рівняння є нелінійним (методи його рішення викладені в наступному розділі). Його рішення дає, взагалі кажучи, комплексних власних значень при яких. Для кожного можеть бути знайдено рішення однорідної системи,. Ці рішення, визначені з точністю до довільної константи, утворюють систему, взагалі кажучи, різних векторів - мірного простору. У деяких завданнях кілька цих векторів (або всі) можуть збігатися. p> Знаходження власних значень матриці методом А.M. Данилевського. p> Суть методу Данилевського полягає у приведенні вікового визначника до так званого нормального вигляду Фробеніуса
В
Якщо нам вдалося записати віковий визначник в такій формі, то, розкладаючи його за елементами першого рядка будемо мати:
В
Таким чином задача зводиться до знаходження матриці P у формі Фробеніуса подібної матриці A, так як власні числа інваріантніщодо операції подоби. Процедура послідовно перетворює рядки вихідної матриці, починаючи з останньої, до виду описаному вище, при цьому перетворення здійснюється таким чином, щоб отримані матриці були подібні. Опишемо перше з перетворень, яке призводить n-й рядок вихідної матриці A до необхідного вигляду. Спочатку перетворимо матрицю A в матрицю B за такими формулами:
b ij = a ij < span align = "justify"> - a i n-1 a ni /a n n-1 при i = 1, .. , n; j не дорівнює n-1; i n-1 = a i n-1 /a n n-1 , при i = 1, .., n
Останній рядок побудованої матриці B буде задовольняти наших умов, але не буде подібна матриці A, тому проведемо ще одне перетворення і отримаємо матрицю З подібну A і зберігає останній рядок:
з ij = b ij < span align = "justify"> при i = 1, .., n-2
c n-1 j = a n 1 b 1 j + a n 2 b 2 j +. . ...
