на лінійний вираз) системи (1) в малій околиці кожної особливої вЂ‹вЂ‹точки. Уявімо Х1Х2 в наступному вигляді:
Х1 = х1 + ?
Х2 = х2 + ?
Де ?,? - відносні обурення, відповідно від значень х1 і х2. Тоді лінеарізуемая система в малій околиці особливої вЂ‹вЂ‹точки, відповідна вихідної системі (1) має наступний вигляд:
?/dt = a? + b??/dt = c? + c? (3)
Рішення системи рівнянь має лінійний вигляд:
? (t) = C1e? 1t,? (t) = C2e? 2t, де С1, С2-константи.
Стійкість особливих точок визначається корінням характеризує рівняння (квадратичне рівняння):
? 2 + (a + d)? + (ad-bc) = 0 (4)
? 1,2 = (a + d)/2 В±? (A + d) 2/4 + bc-ad (5)
де? 1,2 - коріння характеризують рівняння. p> Знайдемо величини a, b, c, d:
a = dP/dx1 = c1-a12x2, = dР/dх2 =-а12х1 = dQ/dx1 = a21x2, = dQ/dx2 =-c2 + c21x1
Для кожної особливої вЂ‹вЂ‹точки знаходимо? l,? 2 за формулою (5):
-я особлива точка:
а = с1; b = 0; d =-c2
Таким чином, коріння характеристичного рівняння для 1-ої особливої вЂ‹вЂ‹точки є дійсними і протилежними за знаком числами, тому ця точка рівноваги є сідлом (дві інтегральні криві проходять через цю точку, інші представляють собою гіперболи). Ці особливі точки нестійкі. Характеристика сідла: зображає точка, рухаючись по інтегральним кривим, віддаляється від особливої вЂ‹вЂ‹точки, тобто одне з експоненціальним кривим, віддаляється від особливої вЂ‹вЂ‹точки, тобто одне з експоненційних рішень з часом збільшується, а інше падає. p>-я особлива точка: = 0; = -a12c2/c21; = c1a21/a12; = 0;
Таким чином, коріння характеризує рівняння для 2-ий особливої вЂ‹вЂ‹точки є чисто уявними числами, отже, друга особлива точка. Являє собою центр. У разі сідла зображає точка не проходить через особливу точку. p> 2.4 Побудова фазового портрету
Побудова фазових траєкторій зробимо методом ізоклін. Визначаємо ізокліни горизонтальних і вертикальних дотичних. Прирівняємо праві частини системи (1) до нуля і отримаємо:
с1x1 + a12x1x2 = 0
С2Х2 + a21x1x2 = 0
ізокліни вертикальних дотичних х2 = c1/a12 = L1 (x1 x2)
ізокліни горизонтальних дотичних х2 = 0 = L2 (x1 x2)
ізокліни вертикальних і горизонтальних дотичних перетинаються між собою і з осями координат в особливих точках. Почала фазових траєкторій - це початкові чисельності популяцій. Фазові криві прагнуть до точок рівноваги (стійким вузлам). br/>В
Рис. 1
3. Чисельне моделювання задачі
хижак жертва моделювання екологія
Рухаючись по фазовим траєкторіях, з їхнього вигляду можна зобразити зміна чисельності з часом Х (t).
У наведених діаграмах (рис. 1) X1о ...
