ни записується в такій формі:
.
Додаткові умови задаються у вигляді:
| x = 0 = f1 (t), u | x = l = f2 (t), u | t = 0 = g1 (x), ut | t = 0 = g2 (x) ,
де f1 (t) і f2 (t) - позиції кінців (кріплень) струни в часі,
а g1 (x) і g2 (x) - початковий стан та швидкість струни з якої ми можемо отримати стан струни в наступний момент часу за формулою
Сітка значень функції
.
У обчисленнях використовують дискретизацію струни (поділяють її на однакові інтервали, довжина яких h (см.ріс).
Значення функції іншим x і t можна обчислити з рівняння коливань струни:
В В В В В
Таким чином, ми отримали схему, за якою можна отримати значення функції для будь-яких x і t, використовуючи значення функції при попередніх x і t. Схематично це можна представити так:
В
Цей метод дає наближений відповідь, ступінь точності ? (? 2 + h2). Для досить точних результатів необхідно використовувати інтервали
<0.1 і .
РОЗДІЛ 2. РІШЕННЯ диференціальних рівнянь другого порядку З ДОПОМОГОЮ функцій Гріна
.1 Метод функцій Гріна
Основним математичним апаратом сучасної фізики є диференціальні рівняння в приватних похідних. Серед методів вирішення таких рівнянь центральне місце займає метод функцій Гріна. p align="justify"> Диференціальні рівняння в приватних похідних доводиться вирішувати, наприклад, при розгляді наступних явищ.
. Теплопровідність. Рівняння теплопровідності має вигляд
В
де к - коефіцієнт теплопровідності, а с - питома теплоємність.
. Квантова Механіка. Рух частинки в квантовій механіці описується хвильової функцією ф, яка задовольняє рівнянню Шредінгера
В
. Дифузія. Рівняння дифузії має вигляд
В
де Л - коефіцієнт дифузії.
Ці рівняння можна уявити у формі
В В
де Н - деякий Ерміта оператор, а
В
у разі рівняння теплопровідності,
У разі рівняння Шредінгера і (3 = Xt у разі рівняння дифузії. Зрозуміло, в кожному з цих випадків функція ф повинна задовольняти деяким граничним умовам. Власні функції оператора Н утворюють повну ортонормированного систему і задовольняють рівняння
В
Припустимо, що рішення рівняння (1) можна представити у формі
В
...
