моделі концентрації механічних домішок скористаємося методом кінцевих елементів. Основа методу скінченних елементів складається в розбитті розглянуто області вирішення ? на підобласті (кінцеві елементи) без перекриття і перетину. Коли розбиття буде здійснено, вихідна область ? визначатиметься мережею точок, які є загальними вузлами суміжних елементів. Невідома функція після рішення задачі буде характеризуватися її значеннями в кожному вузлі розбиття. Ця невідома функція буде інтерпольованого у розглянутій області ? за значеннями у вузлах, отриманими в ході обчислень. Наближення буде здійснюватися за допомогою кусково-неперервних функцій.
2.2.1 Постановка рівнянь
Усі рівняння системи мають загальний вигляд
, (2.1)
де ? і ? - постійні коефіцієнти, які залежать від параметрів системи застосування МОР. p> Тоді розбиття області рішення? на кінцеві елементи дозволяє визначити в ній невідому функцію С (x, y, z, t) як лінійну комбінацію функцій форми Ф i (x, y, z) , пов'язаних з вузлами розбиття і значеннями З i (t) невідомої функції в тих же i вершинах.
(2.2)
Подальше рішення отриманих рівнянь використовуємо метод Гальоркіна (наближений метод розв'язання крайових задач). Застосувавши метод Гальоркіна [4], запишемо загальний рівняння моделі (2.1) у вигляді системи k рівнянь:
, j = 1,2, ..., k
Перетворивши (враховуючи що), отримаємо:
В
або в матричному вигляді
,
Де N, M, F - наступні матриці:
В В В
де? - Розглянута область, С (t) - вектор вузлових значень концентрації механічних домішок. p> Рішення виходить дискретизацією тимчасової змінної на інтервалі шириною, досить малою, щоб дотримуватися задану точність. Якщо позначити через З n +1 значення вектора С (t) в момент, а через З n - значення того ж вектора в момент, похідна буде апроксимувати на момент функцією
В
Таким чином, рівняння моделі можна представити у вигляді
(2.3)
що являє собою систему k рівнянь. Вважаємо, що вектор швидкості відомий, тому отримана система з k рівнянь для k невідомих C i ( t). Завдання є лінійною із постійними коефіцієнтами. br/>
2.2.2 Застосування методу скінченних елементів
Введемо поняття функції форми, визначеної на конкретному елементі. Для цього представимо рівняння (2.2)
В
в матричному вигляді
...
