алгебри. Тут перед істориком науки постає завдання відновлення по чорновим начерками, роботам, листів, спогадів таємничого процесу народження, росту і взаємодії математичних ідей. Ця завдання важке ще й тим, що в історії кожної великої математичної думки є період неявного існування, коли вона невпізнанно. p> Для сучасників починає проглядати то там, то тут у маскарадної одязі приватних випадків і додатків; а потім раптом виступає відразу у всій своїй повній красі, і не відразу можна, а іноді і зовсім не можна, визначити, хто допоміг їй зробити цей знаменний крок виходу на сцену. В»
У підсумку, перетворення алгебри виявилося настільки фундаментальним, що в порівнянні з початком століття, до кінця його, а ще ясніше до-20-м рокам XX століття, сам предмет цієї науки, її основні поняття і методи, її місце в математиці невпізнанно змінилися.
3.1 Поява поняття перестановок. Досягнення Лагранжа і Вандермонда
Поняття перестановок з'явилося ще в XIV столітті. У 1321 році Леві бен Гершон на йшов, що існує перестановок предметів. Ці перестановки - оборотні функції, які утворюють групу Sn в процесі композиції. Проте поведінка перестановок в процесі композиції не розглядалась до вісімнадцятого століття. p> У XVIII столітті роботи Лагранжа і Вандермонда з теорії алгебраїчних рівнянь ввели в математику перший груповий об'єкт - підстановки. Вандермонда і Лагранж застосували ідею перестановки до коріння поліноміальних рівнянь. Тим самим і були відкриті перші воістину теоретико-групові властивості перестановок. p> Особливо значний опублікований у 1771-1773 рр.. мемуар Лагранжа В«Роздуми про алгебраїчному рішенні рівняньВ» (Refle xions sur la resolution algebrique des equations). Крім дуже важливих досліджень в теорії рівнянь в ньому доведена перша теоретико-групова теорема:
Кількість значень, які приймає функція від змінних при всіх перестановках цих змінних, ділить.
Це окремий випадок теореми про те, що порядок підгрупи ділить порядок групи.
Серед послідовників Лагранжа і Вандермонда слід зазначити Паоло Руффіні. У своїх дослідженнях 1808-1813 рр.. з теорії рівнянь він розглядає не тільки групу підстановок, але і її підгрупи і вводить поняття транзитивності і примітивності.
Поговоримо тепер більш докладно про ідеї Лагранжа і Вандермонда: (грунтуючись на матеріалі з книги [3]):
Вандермонда і Лагранж відкрили ключ до розуміння рішення рівнянь в радикалах. Вони почали з спостереження, що якщо рівняння:
має коріння,
то
Перемножая все в правій частині і порівнюючи коефіцієнти, знаходимо, що деякі функції від. Наприклад:
і
Ці функції симетричні, тобто, незмінні небудь перестановкою, оскільки права частина не змінюється такими перестановками. Отже, будь-яка раціональна функція симетрична як функція. Зараз об'єкт рішення в радикалах - застосування раціональних операцій і радикалів до, з тим щ...
