Розглянемо окремий випадок. Нехай Мзад=2.
Рішення.
За заданою величиною Мзад визначаємо координати радіусу і центру кола:
;.
Будуємо коло з центром в точці (- 1,33; 0) радіуса 0,67 (ріс.8.15).
Щоб реальне значення резонансного максимуму було менше заданого, необхідно, щоб ЧХ розімкнутої САР заходила у заборонену зону, тобто всередину кола.
Нехай точка b належить ЧХ розімкнутої САР. Позначимо кут, який утворює вектор А, проведений з початку координат в точку b, з негативним напрямом осі u, через m. Очевидно, що кут m дорівнює запасу стійкості САР по фазі.
З ріс.8.15 випливає, що заборонена зона може мати місце при значенні модуля АЧХ А розімкнутої системи
або
. (5)
Очевидно також, що для будь-якого модуля А існує такий кут m, при якому ЧХ розімкнутої системи не заходить у заборонену зону.
З трикутника ObO1 можна знайти вираз для запасу по фазі, при якому ЧХ може потрапити в заборонену зону:
. (6)
Використовуючи (6), можна побудувати звані m-криві (ріс.8.16) [1], користуючись якими, для будь-якого значення модуля А можна знайти те значення величини m, при якому забезпечується необхідне значення резонансного максимуму.
Для залежності (6) можна визначити, що максимум буде мати місце при, а саме значення максимуму:
. (7)
Якщо є логарифмічні частотні характеристики розімкнутої системи, то за наявними m-кривим і при заданому значенні М можна побудувати необхідну значення запасу по фазі для кожного значення модуля А, задовольняє умові (5), яке для ЛАЧХ приймає вигляд:
. (8)
В результаті можна отримати заборонену зону для ЛФЧХ. Щоб показник колебательности Мр ні більше заданого значення, ЛФЧХ не повинна заходити в цю область.
Визначимо умови, при яких ЛФЧХ гарантовано не заходить у заборонену область, на прикладі типової ЛАЧХ типу «- 2-1-2 ».
Нехай передавальна функція розімкнутої САР дорівнює
, (9)
причому.
Логарифмічні частотні характеристики такої розімкнутої САР представлені на ріс.8.17.
Вираз для ЛФЧХ для (9) має вигляд:
де - запас по фазі, який запишемо наступним чином:
(10)
Для залежності (10) можна визначити, що її максимум буде мати місце при, а саме значення максимуму:
. (11)
Таким чином, максимальний запас по фазі визначається тільки постійними часу, визначальними ділянку з нахилом «- 1 ».
В [1] доведено, що значення максимального запасу по фазі (11) буде не менше гранично допустимого запасу по фазі (7) за умови:
(12)
В граничному випадку (рівність) ЛФЧХ стосуватиметься забороненої зони в точці m=mmax. У цьому випадку буде мати місце максимальну швидкодію системи при заданому рівні Мр.
Таким чином, при виконанні умов (12) для ЛАЧХ розімкнутої системи виду «- 2-1-2 » вимоги за величиною Мр будуть виконані.
У разі, коли ЛАЧХ розімкнутої системи має вигляд «- 2-1-2-3-4 ... », також можна користуватися представленими залежностями, попередньо замінивши всі апериодические ланки з частотами сполучення правіше частоти зрізу одним апериодическим ланкою з п...
