остями:
· визначена і кусочно-дифференцируема на інтервалі;
· при;
· існують такі позитивні числа c і ??M, що за будь виконується нерівність.
Функція називається зображенням. Оператор називають оператором перетворення Лапласа.
Співвідношення
,
визначальне за відомим зображенню його оригінал, називають зворотним перетворенням Лапласа, а оператор - оператором зворотного перетворення Лапласа.
Таблиці відповідності між деякими оригіналами і зображення наведені в табл.2.1.
Розглянемо основні властивості (теореми) перетворення Лапласа (табл.2.2). Їх докази нескладні, і наводяться в спеціальній літературі.
Табл.2.1. Перетворення Лапласа [6]
Назва функцііf (t) F (p) Назва функцііf (t) F (p) Одинична ступінчаста функція Синусоїда Одинична імпульсна функція 1Косінусоіда Одинична лінійна функціяt затухати синусоїда Статечна функціяtn затухати косінусоіда Експонента розходиться синусоїда Експонента n-го порядку розходиться косінусоіда
. Передавальна функція в зображеннях Лапласа
Передавальною функцією САР або ланки в зображеннях Лапласа називається відношення зображення вихідної змінної до зображення вхідної змінної за нульових початкових умов, що має найменший порядок.
Таким чином, згідно з визначенням, ПФ в зображеннях Лапласа не може мати рівні між собою нулі і полюси, так як в цьому випадку її порядок слід знизити, скоротивши чисельник і знаменник на загальний дільник.
табл.2.2. Теореми перетворення Лапласа [6]
Назва операцііФормуліровка теоремиНазваніе операцііФормуліровка теоремиУмноженіе оригіналу на коефіцієнт k,
k=constЧістое запізнювання Сума Початкове значення Похідна Кінцеве значення Похідна n-го порядку Множення оригіналу на експоненту Інтеграл Інтеграл згортки
Визначимо ПФ (в зображеннях Лапласа) ланки, описуваного ДУ (*), застосувавши до обох частинами цього рівняння перетворення Лапласа, і використовуючи властивість лінійності перетворення (табл.2.2):
.
Враховуючи, що початкові умови нульові, за допомогою табл.2.2 отримуємо:
.
Звідси знаходимо передавальну функцію від входу до виходу:
. (***)
Таким чином, ДУ в зображеннях Лапласа легко виходить з ДУ в операторної формі шляхом підстановки і заміни змінних їх зображеннями. Тому ПФ в зображеннях Лапласа пов'язана з ПФ в операторної формі співвідношенням
.
При цьому після підстановки слід скоротити загальні множники, якщо вони присутні. Зворотне співвідношення
справедлива, якщо передавальна функція не має рівних між собою нулів і полюсів.
Слід відзначити дуже важливі моменти:
. Останні два співвідношення, які визначають відповідність між ПФ деякої САР (або ланки) в операторної формі і ПФ в зображеннях Лапласа, справедливі тільки для стаціонарних САР. Тому в загальному випадку, коли говорять просто про передавальної функції САР або ланки, мають на увазі ПФ в зображеннях по Лапласа.
. При наявності рівних між собою нулів і полюсів ПФ в операторної формі деякої САР (або ланки) ПФ в зображеннях Лапласа не може служити його описом при довільних початкових умовах.
...
