розділі буде наведена лема)
Розглядалось рівняння
(3.1)
при Наступний припущені:
аргумент Із запізнюванням, - запізнювання,
(3.2)
де і - натуральні непарні числа.
Для такого рівняння доведемо Наступний теорему.
Теорема 3.1.
Нехай віконуються умови:
1)
2) - кусково-гладка неспадна функція,
3) (3.3)
Тоді Кожний розвязок рівняння (3.1) або осілює, або прямує до нескінченності при разом Зі своими похіднімі до порядку () включно.
Оскількі ми Хочемо Узагальнити Дану теорему для випадка системи з непарного кількістю рівнянь, то проведемо дов?? Дення при n=5.
Доведення.
Припустиме, что при віконанні умів теореми рівняння (3.1) допускає неосцілювальній розвязок. Будемо вважаті, что прі. Згідно з умів (3.2). З рівняння (3.1), пріходімо до висновка, что, Звідки - монотонно ЗРОСТАЮЧИЙ функція, а тому маємо два випадка або при.
. Нехай. Доведемо, что разом Зі своими похіднімі до IV порядку прямує до нескінченності,-монотонно ЗРОСТАЮЧИЙ додатного функція, тоді:
при (). (-Монотонно ЗРОСТАЮЧИЙ)
Проінтегруємо Дану нерівність в проміжку:
Тому, при.
Проінтегруємо в проміжку.
Отже, при,
Проінтегруємо Останню нерівність в проміжку.
Отже, при, при Достатньо великих, - монотонно ЗРОСТАЮЧИЙ функція. Доведемо, що.
З умови (3.2) віпліває, что існує,, таке що.
Тоді з рівняння (3.1) віпліває:
Проінтегруємо данну нерівність в проміжку.:
А тоді з умови (3.3), віпліває, що.
Отже в цьом випадка розвязок з (n - 1) похіднімі прямує до нескінченності, ЯКЩО Дві сусіді похідні більш нижчих порядку додатні, то и сама функція додатного, тоб.
. Розглянемо випадок, коли, оскількі, то функція - монотонно зростає, тоді Можливі два випадка: та.
.1 Если, тоді, як віпліває з последнего зауваження ВСІ Інші похідні більш нижчих порядку від `ємні и сама функція від` ємна, тоб, а це суперечіть припущені.
.2 Если, то функція-монотонно зростає, тоді Можливі два випадка:, та.
Розгянемо випадок коли, то функція - монотонно спадає, тоді Можливі два випадка:
а)
б).
Если, тоді, як Вище, можна довести, что ВСІ Інші похідні більш нижчих порядку від `ємні и сама функція від` ємна, тоб, а це суперечіть припущені.
Звернемося до випадка, коли (,,).
Доведемо, что для справедлива оцінка:
Розглянемо
Звідки:
,
При, з урахуванням того, що - монотонно ЗРОСТАЮЧИЙ відємна функція
В результаті інтегрування з урахуванням, что отрімаємо:
З рівності
оскількі> 0, маємо
користуючися отриманий оцінкою для, маємо:
Інтегруючі Останню нерівність в проміжку, отрімаємо
Отже, отримай:
Через ті, що - монотонно зростає, маємо:
Тоді,
З рівняння (3.1) маємо:
.
Поділімо обідві Частини нерівності на, отрімаємо
Оскількі то-мо...
