е нижче другого порядку. Обмежимося для простоти розглядом лінійного однорідного ОДУ другого порядку зі змінними коефіцієнтами
(1.12)
Зауваження: досить широкий клас функцій можна представити у вигляді
де - деякі постійні. Це вираз називають статечним поруч.
Припустимо, що функції можна розкласти в сходяться в інтервалі ряди:
(1.13)
Має місце наступна теорема (опускаючи доказ, наведемо лише її формулювання) [10].
Теорема 1.5: якщо функції мають вигляд (1.13), то будь-яке рішення ОДУ (1.12) представимо у вигляді сходящегося при статечного ряду:
(1.14)
Ця теорема не тільки дає можливість представити рішення у вигляді статечного ряду, а й, що найголовніше, обгрунтовує збіжність ряду (1.14). Для простоти покладемо в (1.13) і (1.14) і будемо шукати рішення ОДУ (1.12) у вигляді
(1.15)
Підставивши (1.15) в (1.12), отримаємо рівність
(1.16)
Для виконання (1.16) необхідно, щоб коефіцієнт при кожній ступеня дорівнював нулю.
З цієї умови отримуємо нескінченну систему лінійних алгебраїчних рівнянь
з якої можна послідовно знайти якщо задати значення і (у разі завдання Коші для ОДУ (1.12) вони входять в початкові умови).
Якщо функції є раціональними, тобто
де - многочлени, то в околицях точок, в яких або рішення у вигляді статечного ряду може не існувати, а якщо й існує, то може розходитися всюди, за винятком точки Ця обставина було відомо ще Л. Ейлера, який розглянув рівняння першого порядку
Цьому рівняння задовольняє статечної ряд
Неважко, однак, бачити, що цей ряд розходиться при будь-якому
Рішення ОДУ в вигляді розходиться статечного ряду називають формальним [11].
2. ПРИКЛАДИ ВИКОРИСТАННЯ степеневих рядів при інтегруванні диференціального рівняння
Рівняння Ейрі
Рішення рівняння Ейрі
будемо шукати у формі статечного ряду (1.15). Тоді рівність (1.16) прийме вигляд
Прирівняємо нулю коефіцієнт при кожній ступеня
Коефіцієнт при дорівнює Отже, З рівності нулю коефіцієнта при знаходимо Коефіцієнт при дорівнює Звідси
З цієї формули отримуємо
Аналогічно знаходимо
Коефіцієнти і залишаються невизначеними. Для знаходження фундаментальної системи рішень покладемо спочатку а потім навпаки. У першому випадку маємо
а в другому
На підставі теореми 1.5 ці ряди є сходящимися всюди на числовій прямій
Функції називають функціями Ейрі. При великих значеннях асимптотичну поведінку цих функцій описують формули
Графіки цих функцій зображені на малюнку 1.
Малюнок 1
При необмеженому збільшенні нулі всякого рішення рівняння Ейрі необмежено зближуються, що видно з асимптотичного представлення цих рішень, але зовсім не очевидно з уявлення функцій Ейрі у вигляді збіжних степеневих рядів. Звідси випливає, що спосіб пошуку рішення ОДУ за допомогою ряду, взагалі кажучи, малопридатний при вирішенні прикладних задач, а саме уявлення рішення у вигляді ...
