ряду ускладнює аналіз якісних властивостей отриманого рішення [9].
2.1 Рівняння Бесселя
Лінійне диференціальне рівняння з змінними коефіцієнтами, що має вигляд
,, (2.1)
називається рівнянням Бесселя.
Рішення рівняння (2.1) будемо шукати у вигляді узагальненого статечного ряду, тобто твори деякій мірі на степовій ряд:
(2.2)
Підставляючи узагальнений статечної ряд у рівняння (2.1) і прирівнюючи нулю коефіцієнти при кожній ступеня в лівій частині рівняння, отримаємо систему
Вважаючи, що з даної системи знаходимо Нехай Тоді з другого рівняння системи знаходимо а з рівняння надаючи значення 3,5,7, ..., укладаємо, що Для коефіцієнтів з парними номерами отримуємо вирази
Підставляючи знайдені коефіцієнти в ряд (2.2), отримаємо рішення
де коефіцієнт залишається довільним.
При всі коефіцієнти аналогічно визначаються тільки у випадку, коли не дорівнює цілому числу. Тоді рішення можна отримати, замінюючи в попередньому рішенні величину на:
Отримані статечні ряди сходяться для всіх значень, що легко встановлюється на підставі ознаки Даламбера. Рішення та лінійно незалежні, так як їх ставлення не є постійним.
Рішення помножене на постійну називається функцією Бесселя (або циліндричної функцією) порядку першого роду і позначається символом Рішення позначають
У загальноприйнятому виборі постійної бере участь гамма-функція яка визначається невласним інтегралом:
Отже, загальний розв'язок рівняння (2.1) при не в рівному цілому числу, має вигляд де і - довільні постійні величини [12].
2.2 Приклади інтегрування
У тих випадках, коли для рівняння потрібно вирішити задачу Коші при початковому умови рішення можна шукати за допомогою ряду Тейлора:
де а подальші похідні знаходять послідовним диференціюванням вихідного рівняння і підстановкою в результат диференціювання замість значень і всіх інших знайдених наступних похідних. Аналогічно за допомогою ряду Тейлора можна інтегрувати і рівняння вищих порядків [13].
Приклад 2.1. Проінтегрувати наближено за допомогою ряду Тейлора рівняння взявши шість перших членів розкладання, відмінних від нуля [12].
З рівняння початкових умов знаходимо Диференціюючи дане рівняння, послідовно отримуємо
Вважаючи і використовуючи значення послідовно знаходимо Искомое рішення має вигляд
Приклад 2.2. Знайти чотири перших (відмінних від нуля) члена розкладання [12].
Диференціюючи рівняння маємо
При отримуємо
Рішення має вигляд
Приклад 2.3. Проінтегрувати рівняння [14].
Будемо шукати рішення цього рівняння у вигляді ряду
Підставляючи і в вихідне рівняння, знаходимо
Згрупуємо члени з однаковими ступенями:
Прирівнюючи нулю всі коефіцієнти отриманого ряду (щоб рівняння звернулося в тотожність), знаходимо
Останнє співвідношення дозволяє знайти послідовно всі коефіцієнти шуканого розкладання (і залишаються довільними і грають роль довільних постійних інтегрування):
<...
