пускає інтегруючий множник як функцію однієї змінної y, тобто , То
.
Випадок 3. Якщо рівняння
P (x, y) dx + Q (x, y) dy=0
має інтегруючий множник виду, де - відома функція, то
.
Приклад 4.1. Вирішити рівняння.
Рішення
Очевидно, що дане рівняння не є рівнянням в повних диференціалах. Спробуємо знайти інтегруючий множник. Оскільки вираз
не залежить від y, то рівняння для визначення прийме вид
.
Дане рівняння є рівнянням із перемінними одним з рішенням якого, є функція. Множачи обидві частини вихідного рівняння на інтегруючий множник, отримуємо рівняння в повних диференціалах:
.
Інтегруючи його, знаходимо спільне рішення:
.
Приклад 4.2 Вирішити рівняння (xy2? 2y3) dx + (3? 2xy2) dy=0.
Рішення
Дане рівняння не є рівнянням в повних диференціалах, оскільки
Спробуємо визначити його спільне рішення, використовуючи інтегруючий множник. Обчислимо різницю
Зауважимо, що вираз
залежить тільки від y. Тому, інтегруючий множник ? також буде функцією однієї змінної y. Ми можемо знайти його з рівняння
Інтегруючи, знаходимо:
Вибираючи як інтегруючого множника і потім множачи на нього вихідне диференціальне рівняння, отримуємо рівняння в повних диференціалах:
Справді, тепер видно, що
Відзначимо, що при множенні на інтегруючий множник ми втратили рішення y=0. Це можна довести прямою підстановкою рішення y=0 у вихідне диференціальне рівняння.
Тепер знайдемо функцію u з системи рівнянь:
З першого рівняння випливає, що
З другого рівняння знаходимо:
Таким чином, задане диференціальне рівняння має наступні рішення:
де C? довільна постійна.
Приклад 4.3 Вирішити рівняння
.
Рішення
Очевидно, знайти інтегруючий множник, що залежить тільки від однієї змінної не можна. Будемо шукати інтегруючий множник у вигляді. Нехай, тоді рівняння для знаходження прийме вигляд
,
інтегруючи, яке знаходимо
.
Примножуючи обидві частини вихідного рівняння на даний інтегруючий множник, отримуємо рівняння в повних диференціалах:
.
Інтегруючи отримане рівняння, знаходимо спільне рішення:
.
Теорема 4.2 Якщо - інтегруючий множник рівняння виду (1), а функція така, що.
Тоді, де - довільна диференційована функція, також буде інтегруючим множником того ж рівняння.
Ця властивість інтегруючого множника дозволяє в багатьох випадках знаходити його методом розбиття даного рівняння на дві частини.
Доказ.
Нехай - загальні інтеграли і інтегруючі множники відповідно для рівнянь
.
Тоді, в силу наведеної вище теореми, функції
є інтегруючими множниками для першого і другого рівняння відповідно. Якщо вдасться підібрати функції Ц1 і Ц2 так, щоб виконувалася рівність
,
то інтегруючим множником для рівняння
