и по змінній y, підставимо функцію u (x, y) в друге рівняння:
Звідси отримуємо вираз для похідної невідомої функції ц (y):
5. Інтегруючи останній вираз, знаходимо функцію ц (y) і, отже, функцію u (x, y):
6. Загальне рішення рівняння в повних диференціалах записується у вигляді:
Приклад 3.7 Знайти загальний інтеграл рівняння
(yexy +2 xy) dx + (xexy + x2-2y) dy=0.
Рішення
Перевіримо рівність приватних похідних, припустивши
, де,;
Маємо рівняння в повних диференціалах.
Шукаємо функцію
u (х, у)=
(при інтегруванні другого доданка припускаємо х=const):
+
,
, де.
Знайшли загальний інтеграл диференціального рівняння
.
4. Інтегруючий множник
Звичайно, не всяке диференціальне рівняння виду
P (x, y) dx + Q (x, y) dy=0
є рівнянням в повних диференціалах. Теоретично завжди можна привести його до рівняння такого типу множенням на деяку не рівну нулю функцію, звану інтегруючим множником. Але не завжди легко знайти таку функцію.
Якщо інтегруючий множник рівняння
P (x, y) dx + Q (x, y) dy=0,
рівняння
є рівнянням в повних диференціалах, тобто інтегруючий множник є рішення рівняння
.
Знайти функцію з рівняння
в загальному випадку досить складно. У приватних випадках співвідношення
значно спрощується.
Теорема 4.1 Якщо рівняння
P (x, y) dx + Q (x, y) dy=0
має загальний інтеграл
U (x, y)=C, де U є інтеграл рівняння
P (x, y) dx + Q (x, y) dy=0
в розглянутій області, що має безперервні приватні похідні другого порядку, то це рівняння має інтегруючий множник.
Доказ.
Дійсно, так як U (x, y) є інтеграл рівняння P (x, y) dx + Q (x, y) dy=0, то dU=0 в силу цього рівняння, тобто
де dy визначається рівнянням P (x, y) dx + Q (x, y) dy=0, так як dx і dy задовольняють системі рівнянь:
(4.1)
Це однорідна лінійна система має ненульовий рішення (бо dx, як диференціал незалежної змінної, довільний). Тому справедливо тотожність
(4.2)
або
(4.3)
Тому
т. е. ліва частина рівняння
P (x, y) dx + Q (x, y) dy=0
стає повним диференціалом після множення на функцію, яка визначається рівністю (4.3). Отже, є інтегруючий множник рівняння
P (x, y) dx + Q (x, y) dy=0.
Випадок 1. Якщо рівняння
P (x, y) dx + Q (x, y) dy=0
має інтегруючий множник, що залежить тільки від x, тобто , То маємо
.
Випадок 2. Якщо рівняння
P (x, y) dx + Q (x, y) dy=0
до...
