Таким чином, 3,630 < < 3,634, тобто =3,63 +0,004. Відповідь:=3,63 +0,004.
Приклад 2.
Відокремити корені рівняння x3-0, 2x2 +0,5 x +1,5=0 аналітично і уточнити один з них методом з точністю 0,01.
Рішення. Маємо функцію f (x)=x3-0, 2x2 +0,5 x +1,5. Похідна дорівнює:
f / (x) =3x2-0, 4x +0,5; D=0,16-6 <0.
Складемо таблицю знаків функції f (x):
x-?- 10 +? Signf (x) - + +
Рівняння має один дійсний корінь, що лежить на проміжку [- 1; 0]. Щоб уточнити корінь, знаходимо похідну f / / (x) =6x - 0,4; на проміжку [- 1,0] виконується нерівність f / / (x) <0.
Для обчислення використовуємо формулу:
xn +1=a-(xn-a), де a=- 1; x0=0; f (a)=f (- 1)=- 0,2.
Результати обчислень розміщуємо в таблицю:
nx nx 3 nxn 2 0,2 ??x n 2 0,5 x nf (xn) f (xn) +0,2 x n-a 0000001,51,71-0,1181-0,882-0,68610,77790,1556-0,4410,21730,41730,118-0,0572-0,943-0,83860,88920,1778-0,47150,01210,21210,057-0,0543-0,946-0,84660,89490,1790-0,4730,00140,20140,054-0.0544-0,946
Відповідь: - 0,946.
Приклад 3.
Відокремити корені рівняння tg (- 55x +0,1)=x 2 графічно і уточнити один з них методом хорд з точністю до 0,01.
Рішення.
Відокремимо корінь графічно. Побудуємо графіки функції y 1=tg (0,55 x +0,1) і y 2=x 2. Дивіться на малюнок:
Складемо таблицю значень цих функцій по малюнку:
x00, 20,40,60,81 y 2=x 2 00,040,160,360,6410,55 x00, 110,220,330,440,55 y 1 0,10,210,330,460,600,76
Таким чином, позитивний корінь рівняння знаходиться на проміжку [0,6; 0,8]. Щоб уточнити корінь методом хорд, визначимо знаки функції f (x)=tg (0,55 x +0,1)-x 2 на кінцях відрізка [0,6; 0,8] і знак її другої похідної на цьому відрізку: f (0,6)=tg0, 43 - 0,36=- 0,0986.
f (0,8)=tg0.54 - 0.64=- 0,0406.
f / (x)=- 2x / / (x)=0.55 2 cos3 (0,55 x +0,1) 0,55 - 2=-2 <0 при x [0,6; 0,8].
Застосуємо формулу для обчислень:
xn +1=xn - (b-xn), де b=0,8; x0=0,6.
Результати обчислень розміщуємо в таблицю:
nx n b-xn 0,55 x n +0,1 tg (0,55 x n +0,1) xn +2 f (xn) f (b) - f (xn) 00,60,20,430,45860,360,0986-0,1392-0,14210,7420,0580,50810,55700,55060,0064-0,0470-0,00820,7500,500,5125056270,56250,0002-0,0408-0,000230,75020,04980,51260,56280,56280
Відповідь: 0,750.
Приклад 4.
Знайти позитивний корінь рівняння f ( x )= x 3 - 0,2 x 2 - 0,2 х - 1,2=0 з точністю до 0 , 01.
Рішення.
Насамперед, відокремлюємо корінь.
Так як f (1)=- 0,6 < 0 і f (2)=5,6> 0, то шуканий корінь x лежить в інтервалі [1, 2]. Отриманий інтервал великий, тому розділимо його навпіл.
Так як f (1,5)=1,425> 0, то 1 < x < 1,5.
