Реферат Сучасний стан обчислювальної техніки

Відповідь:

X = 0.78091254

Maximum error is 3.5465456e-7

2.2. Рішення систем лінійних рівнянь методом ітерацій.

Метод ітерацій Гаусса-Зейделя

Метод послідовних наближень або ітерацій для великих n дає скорочення часу рішення на 20-30% в порівнянні з точними методами. p> У методі ітерацій число дій пропорційно числу n 2 , тоді як у точних методах n 3 .

Метод ітерацій особливо вигідний при вирішенні систем, в яких багато коефіцієнтів дорівнює нулю. Розглянемо метод на прикладі 3-х рівнянь з трьома невідомими.

Дана система:

В В  В В В 

Для збіжності методу ітерацій діагональні елементи системи повинні бути переважаючі, тобто

| a ii |>> | a ij |

Якщо ця умова не виконується, то роблять елементарні перетворення системи.

Наприклад:

3x 1 + x 2 + x 3 = -5 (1)

2x 1 -8x 3 = 7 (3)

x 1 -6x 2 = 4

2x 1 -8x 3 = 7

З 1-го рівняння перетвореної системи знайдемо х 1 , з 2-го х 2 з 3-го х 3 . Отримаємо:

В В В  В В В В 

Для зручності реалізації алгоритму обчислюється значення позначимо y i . Отримаємо:

В В В  В В В В 

Для нашого прикладу система прийме вигляд:

y 2 = (4-x 1 )/(-6)

y 3 = (7-2x 1 )/(-8)

В якості початкового наближення для х 1 ; x 2 ; x 3 , береться 0 або 1. Підставляється в праву частину системи, виходить нове значення x i , яке знову підставляється в праву частину і т.д. Поки різниця між наближеннями чи не стане менше пЃҐ пЂ  пЂЁ d).

<пЃҐ = 10 -5

program lin;

var

b1, d, x1, x2, x3, x4, e, y1, y2, y3, y4: real;

begin

x1: = 0; x2: = 0; x3: = 0; x4: = 0; e: = 1e-5;

repeat

y1: = (-9-x2 + x4)/4;

y2: = (-y1 + x3-3 * x4)/2;

y3: = (-7-x1 +3 * y2)/4;

y4: = (2-3 * x2 +2 * y3)/4;

d: = sqrt (sqr (x1-y1) + sqr (x2-y2) + sqr (x3-y3) + sqr (x4-y4));

x1: = y1; x2: = y2; x3: = y3; x4: = y4;

until d> E;

b1: = x1 +2 * x2-x3-3 * x4;

writeln ('x1 =', x1: 8:5, 'x2 =', x2: 8:5,

'x3 =', x3: 8:5, 'x4 =', x4: 8:5, 'b1 = ', B1: 8:5);

x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = 1; x 4 = 1;

e = 10 -5

Ні