и qн, запишемо початкова умова
, 0 lt; y lt; d.
Гранична умова при y=0 є наслідком симетрії температурного поля
.
На поверхні пластини будемо вважати заданим лінійне гранична умова III роду, відповідне постійній температурі навколишнього середовища q0 і постійному, який не залежить від температури, коефіцієнту теплопередачі a
.
Розглянемо спочатку застосування методу кінцевих різниць для розв'язання лінійної задачі теплопровідності, припускаючи, що теплофізичні характеристики тіла с, r і l не залежить від температури.
Малюнок 1
У цьому випадку рівняння теплопровідності спрощується і приймає наступний вигляд
, 0 lt; y lt; d,
де a=l/сr - коефіцієнт температуропровідності.
Вибір цього найбільш простого прикладу пояснюється тільки тим, що наявність точного аналітичного рішення дозволяє провести пряму оцінку похибки наближених чисельних методів. Разом з тим, на цьому прикладі можна наочно продемонструвати деякі специфічні проблеми, що виникають при реалізації методу скінченних різниць, і зробити висновки, що мають загальний характер.
Побудова різницевих схем. Основна ідея методу кінцевих різниць (методу сіток) полягає в тому, що безперервна область зміни просторової змінної 0? Y? D замінюється кінцевої сукупністю дискретно розташованих вузлових точок y1, y2, ..., yn, yn + 1. При рівномірному розташуванні цих точок на відрізку [0, d] їх координати рівні yi=(i - 1) Dy при i=1, ..., n + 1, де відстань між сусідніми точками (крок по координаті) Dy=d/n. Аналогічним чином, замість безперервної зміни температурного поля в часі, розглядаються значення температури в фіксовані моменти часу tk=kDt, k=1, 2, ..., де Dt - інтервал між двома послідовними моментами часу (крок за часом).
У площині (y, t) сукупність вузлових точок з координатами (yi, tk) утворює прямокутну сітку, зображену на рис., і розрахунок температурного поля q (y, t) зводиться до відшукання сіткової функції, наближено характеризує температуру тіла в вузлових точках. Для ілюстрації на наступному рис. зображені дискретні температурні поля і, що відповідають двом моментам часу tk і tk + 1.
Малюнок 2
При заміні неперервної функції q (y, t) дискретної сіткової функцією необхідно замінити диференціальне рівняння теплопровідності з відповідними крайовими умовами системою алгебраїчних (різницевих) рівнянь, що зв'язують значення сіткової функції в сусідніх вузлових точках. Така система алгебраїчних рівнянь, що є наближеною математичною моделлю процесу теплопровідності, називається різницевої схемою рішення вихідної крайової задачі. Як буде показано надалі, перехід від вихідних диференціальних співвідношень до відповідної їм системи різницевих рівнянь може бути проведений різними шляхами. Виходять при цьому різницеві схеми можуть значно відрізнятися один від одного щодо точності та ефективності, тобто обсягу обчислень, який необхідно провести для досягнення заданої точності розрахунку. Деякі різницеві схеми взагалі виявляються непридатними для отримання задовільного результату. Таким чином, у кожному конкретному випадку віз?? гикає проблема вибору різницевої схеми, найкращим чином відповідає вихідної постановці завдання.
Різницева схема, звичайно, повинна бути побудована таким чином, щоб подрібнення сітки супроводжувалося зменшенням похибки чисельного рішення задачі. Для того, щоб висловити цю вимогу більш строго, введемо кількісну характеристику похибки розрахунку, висловивши її в кожній точці у вигляді різниці між значенням сіткової функції та точним значенням температури q (yi, tk)
.
Похибка розрахунку температури в k-тий момент часу ek природно визначити як максимальне значення
,
а загальну похибку e, що характеризує якість всього чисельного рішення завдання, як
.
Підкреслюючи залежність похибки розрахунку від величини кроків по координаті і часу, запишемо e=e (Dy, Dt). Тоді для правильно побудованої різницевої схеми повинно виконуватися граничне співвідношення
.
7. Проекційні методи розв'язання крайових задач математичної фізики
Використовуючи основні поняття функціонального аналізу, можна сформулювати постановку крайової задачі наступним чином.
Дано метричні простору X і Y і оператор А, визначений на безлічі D А простору X з безліччю значень простору Y. Потрібно вирішити рівняння Аx=y *, де y * - заданий елемент Y.
Безліч X називається метричним простором, якщо кожній парі його елементів x 1 і x 2 поставлено у відповідність невід'ємне дійсне число? (x 1, x 2), зване відстанню між x 1 і x 2 та задовольняє наступним умовам:
1)? (x 1, x 2...
