i> f " (2) Ві 0. p> Тому в якості початкового наближення можна взяти x 0 = 2.
Результати наведені в табл. 2.3. br/>
Таблиця 2.3
n
x n
0
1
2
3
4
5
2
0.8415
0.8861
0.8742
0.8774
0.8765
2.6 Метод січних (метод хорд)
У цьому і наступному розділі розглянемо модифікації методу Ньютона.
Як видно з формули (2.13), метод Ньютона вимагає для своєї реалізації обчислення похідної, що обмежує його застосування. Метод січних позбавлений цього недоліку. Якщо похідну замінити її наближенням:
В
f '( x n ) В»,
то замість формули (2.13) отримаємо
x n +1 = x n -. . (2.20)
Це означає, що дотичні замінені січним. Метод січних є двухшаговим методом, для обчислення наближення x n +1 необхідно обчислити два попередні наближення x n і x n - 1 , і, зокрема, на першій ітерації треба знати дві початкових значення x 0 і x 1 . p> Формула (2.20) є розрахунковою формулою методу січних . На рис. 2.9 наведена геометрична ілюстрація методу січних. br/>В
Рис. 2.9
Чергове наближення x n +1 виходить як точка перетину з віссю OX січної, що сполучає точки графіка функції f ( x ) з координатами ( x n -1, f ( x n - 1 )) і ( x n , f ( x n )).
Збіжність методу . Збіжність методу січних встановлює наступна теорема. <В
Теорема 2.4 Нехай x * - простий корінь рівняння f ( x ) = 0, і в деякій околиці цього кореня функція f двічі безперервно дифференцируема, причому f " ( x ) В№ 0. Тоді знайдеться така мала s -околиця кореня x * , що при довільному виборі початкових наближень x 0 і x 1 з цієї околиці итерационная послідовність, визначена за формулою (2.20) сходиться і справедлива оцінка:
| x n + 1 - x * | ВЈ C | x n - x * | p , n Ві 0, p = В»1.618. (2.21)
Порівняння оцінок (2.15) і (2.21) показує, що p <2, і метод січних сходиться повільніше, ніж метод Ньютона. Але в методі Ньютона на кожній ітерації треба обчислювати і функцію, і похідну, а в методі січних - тільки функцію. Тому при однаковому обсязі обчислень в методі січних можна зробити приблизно вдвічі більше ітерацій і отримати більш високу точність.
Так само, як і метод Ньютона, при невдалому виборі початкових наближень (далеко від кореня) метод січних може розходитися. Крім того застосування методу січних ускладнюється через те, що в знаменник розрахункової формули методу (2.20) входить різниця значень функції. Поблизу кореня ця різниця мала, і метод втрачає стійкість.
Критерій закінчення. Критерій закінчення ітерацій методу січних такий же, як і для методу Ньютона. При заданій точності e > 0 обчислення потрібно вести доти, поки не буде виконано нерівність
| x n - X n - 1 | < e . (2.22)
В
Приклад 2.4.
Застосуємо метод січних для обчислення позитивного кореня рівняння 4 (1 - x 2 ) - E x = 0 з точністю e = 10 -3 . p> Корінь цього рівняння знаходиться на відрізку [0, 1], так як f (0) = 3> 0, а f (1) = - e <0. Підрахуємо другу похідну функції: f "( x ) = - 8 - e x . Умова f ( x ) f " ( x ) Ві 0 виконується для точки b = 1. В якості початкового наближення візьмемо x 0 = b = 1. В якості другого початкового значення візьмемо x 1 = 0.5. Проведемо обчислення за розрахунковою формулою (2.20). Результати наведено в табл. 2.4. br/>
Таблиця 2.4
n
x n
0
1
2
3
4
5
1.0000
0.5000
0.6660
0.7093
0.7033
0.7034
