івність:
(5)
Для алгебраїчного числа 2-го ступеня можна підібрати c gt; 0, таке, що для будь-якої раціональної дробу, матиме місце нерівність:
(6)
У 1844 р, французьким математиком Ліувілль, вперше була доведена загальна теорема:
Теорема 5 [1, стор. 264]: Для будь-якого дійсного алгебраического числа a ступеня n існує таке позитивне число c, залежне тільки від a, таке, що для всіх раціональних чисел (? a) має місце нерівність:
(7)
Доказ:
Нехай f (x)=A 0 x n + A 1 x n - 1 + A n непріводімий многочлен з цілими коефіцієнтами, коренем якого є a .
Згідно з теоремою Безу, маємо:
f ( x ) = ( x - a ) g ( x ), (8)
де g ( x ) - многочлен з дійсними коефіцієнтами.
Візьмемо довільне d gt; 0 . | g (x) | - безперервна, а отже, обмежена функція від x в сегменті [ a - < i> d ; a + d ], тобто існує позитивне число M , таке, що | g (x) | ? M , для всіх x з цього сегменту. Позначимо через c=min , так, що й.
Якщо довільне раціональне число задовольняє нерівностям: ad ?? a + d , тоді | g () | ? M і, підставляючи в (8) замість x значення, отримуємо:
(9)
Непріводімий над полем раціональних чисел многочлен f (x) ступеня n ? 2 не має раціональних коренів, а при n=1 не має коренів, відмінних від a , так що:
f ()=
Оскільки чисельник - ціле невід'ємне, відмінне від нуля, тобто число більше або рівне 1, то
(10).
Порівнюючи нерівності (9) і (10) отримуємо, так що і в цьому випадку маємо:. Теорема доведена.
Приклад:
Нехай z - неквадратні ціле число. Знайти c gt; 0, таке, що для всіх раціональних чисел мало б місце нерівність:
.
- корінь многочлена x a -В . Ділячи x 2 -D на x - , знаходимо g (x)=x + .
При - d lt; x lt; + d маємо, тобто M =+ d . В якості c беремо, при цьому вигідніше за все взяти d так, що d 2 + d - 1=0, тобто d =.
При такому d отримуємо, так що при будь-яких цілих a і b маємо:.
2.4 Завдання побудови рівняння із заданими країнами
Для побудови рівняння із заданими корінням використовують формули Вієта, які виражають коефіцієнти многочлена через його коріння.
Теорема Вієта [4, стор. 510] . Якщо - коріння многочлена x n + b 1 x < i> n - 1 + ... + b n , кожен корінь узятий відповідне його кратності число раз, то коефіцієнти b 1 , ... b n виражаються у вигляді симетричних многочленів від коренів, а саме
...
Інакше кажучи, дорівнює сумі всіх можливих творів з k коренів.
Доказ здійснюється розглядом рівності, отриманого розкладанням многочлена по корінню, враховуючи, що
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях x (теорема єдиності), одержуємо формули Вієта.
Приклади :
Квадратне рівняння.
Якщо - коріння квадратного рівняння, то
Кубічне рівняння.
Якщо, - коріння кубічного рівняння, то
Приклад : Знайти всі корені многочлена 3, якщо відомо, що добуток двох з них дорівнює 1.
Маємо:
Вдобавок до цих рівнянь ми повинні записати додаткову умову З третього рівняння системи отримуємо Підставивши його в два, що залишилися, прийдемо до двох ідентичним Тепер для знаходження невідомих, можемо скористатися формулами Вієта в «зворотному порядку», склавши квадратний многочле...
