снують залежності такого виду, коли кожному значенню однієї змінної (Х) відповідає не якесь одне певне, а безліч значень іншої змінної (Y), причому не можна сказати заздалегідь, яке саме значення прийме залежна величина Y. Така залежність отримала назву статистичної (або стохастичною, ймовірнісної).
Найпростішим візуальним способом виявити наявність взаємозв'язку між кількісними змінними є побудова діаграми розсіювання. Це графік, на якому по горизонтальній осі (X) відкладається одна змінна, по вертикальній (Y) інша. Кожному об'єкту на діаграмі відповідає точка, координати якої дорівнюють значенням пари обраних для аналізу змінних.
Зрозуміти особливість статистичної залежності простіше, якщо порівняти її з функціональною залежністю - залежністю виду, коли кожному можливому значенню випадкової величини Х відповідає одне можливе значення випадкової величини Y.
Припустимо, що існує стохастична залежність випадкової змінної Y від Х. Зафіксуємо деяке значення х змінної Х. Мінлива Y, в силу її випадкової залежно від Х, може прийняти будь-яке значення з деякого безлічі, причому яке саме -заздалегідь не відомо. Тому, насамперед, намагаються з'ясувати, змінюється чи ні при зміні Х математичне очікування Y. Якщо при зміні X математичні очікування М (Y) змінюються, то кажуть, що має місце кореляційна залежність величини Y від Х.
Функція ж f (х)=М (Y), що описує зміна математичного очікування випадкової змінної Y при зміні значень змінної Х, називається функцією регресії Y на Х, а її графік - лінією регресії.
Оскільки найбільш простою формою залежності в математиці є пряма, то в кореляційному і регресійному аналізі найбільш популярні лінійні моделі.
Якщо f (х) - лінійна функція, то кореляційну залежність можна описати за допомогою рівняння виду:
М (Y/х)=bх + A, (14)
де А і В - деякі параметри, а М (Y/х) - умовне математичне сподівання спостерігалися значень Y, відповідних Х=х.
В якості оцінок математичних очікувань приймають умовні середні, які знаходять за даними спостережень (за вибіркою). Умовним середнім ухназивают середнє арифметичне спостерігалися значень Y, відповідних Х=х.
Умовне математичне сподівання М (Y/х) є функцією від х, отже, його оцінка, тобто умовне середнє ух, також функція від х; позначивши цю функцію через? (х), одержимо рівняння ух =? (х). Це рівняння називають вибірковим рівнянням регресії; функцію? (Х) називають вибіркової регресією, а її графік - вибіркової лінією регресії.
Метод, який дозволяє абсолютно точно обчислити положення лінії регресії, найкращим чином проходить через безліч точок, і скласти рівняння цієї лінії, це - метод найменших квадратів, що складається в тому, що сума квадратів відстаней від точок на діаграмі до цієї лінії мінімальна (в порівнянні з усіма можливими лініями).
Іншими словами, потрібно звести до мінімуму функцію S:
S (15)
Може виникнути питання, а саме чому сума квадратів? Справа в тому, що, по-перше, квадрат будь-якого числа завжди неотрицателен, і, отже, сума квадратів завжди не негативними, тобто обмежена знизу, і, отже, у неї є мінімум.
випоїли?? нив елементарні перетворення, одержимо систему двох лінійних рівнянь щодо а і b:
(16)
Рішення цієї системи рівнянь можна записати в наступному, зручному для розрахунків вигляді:
b== (17)
Отримавши значення a і b, можна скласти рівняння лінійної залежності виду і побудувати графік цієї залежності.
Форма зв'язку (лінія регресії) сама по собі не дає відповіді на питання про тісноті зв'язку пари змінних, в нашому випадку це зв'язок між чисельністю населення міста і доходом театру від продажу спектаклів. На це питання відповідає коефіцієнт парної кореляції. Він показує, наскільки тісно дві змінні пов'язані між собою. Візуально про тісноті зв'язку можна судити по тому, наскільки компактно розташовані точки-об'єкти біля лінії регресії. Чим ближче точки до лінії регресії, тим тісніше зв'язок.
Коефіцієнт парної кореляції r приймає значення в діапазоні від - 1 до +1.
Позитивні значення коефіцієнта кореляції r свідчать про позитивну зв'язку між ознаками, негативні - про негативну зв'язку.
Якщо r=1, то між двома змінними існує функціональна позитивна лінійна зв'язок, тобто на діаграмі розсіювання відповідні точки лежать на одній прямій з позитивним нахилом.
Якщо r=- 1, то між двома змінними існує функціональна негативна лінійна залежність, тобто на діаграмі розсіювання відповідні точки лежать на одній прямій з негативним нахилом.
Якщо r=0, то розгляну...
