на теоремі про відрахуваннях, згідно з якою значення інтеграла (8) може бути представлено сумою відрахувань подинтегральной функції,
,
де Res Y ( s ) - Вирахування функції Y ( s ) в полюсі s i ; i = 1 , ..., n Y ; n Y - число полюсів зображення Y ( s ); при t < 0 функція у ( t ) = 0.
Для звичайних лінійних диференціальних рівнянь і типових впливів зображення Y ( s ) є дрібно-раціональною функцією, яку можна представити у вигляді суми найпростіших дробів:
, (9)
де - похідна полінома A Y по s; s i - прості полюси;
В
Оригінал y ( t ) відповідно з розкладанням (9) має вигляд:
.
Імпульсна перехідна функція (функція ваги) w ( t ) являє собою реакцію системи на -Функцію за нульових початкових умовах. Оскільки зображення-функції, то функція ваги являє собою звернення по Лапласові передавальної функції і. p> Розкладання передавальної функції на суму найпростіших дробів у випадку простих полюсів s i ; i = 1, ..., n має вигляд:
, (10)
де C i - коефіцієнт розкладання (вирахування),
. (11)
Приклад. Розглянемо визначення функції ваги за допомогою формул (10) і (11) для передавальної функції
. (12)
Полюси передавальної функції s 1 = -1 ; s 2 = -2 . Розкладання (12) на суму найпростіших дробів має вигляд:
.
Зворотне перетворення Лапласа дає
.
Перехідна характеристика h ( t ) являє собою реакцію системи на одиничну ступінчасту функцію I ( t ) при нульових початкових умовах. Оскільки, то. p> Полюсами зображення є полюс впливу s 1 = 0 і полюси передавальної функції. Легко переконається, що
,.
В
Приклад. Розглянемо отримання перехідної характеристики системи з передавальної функцією (12). Розкладання зображення H ( s ) на суму найпростіших дробів:
,
де
;
;
.
Отже, перехідна характеристика описується функцією
.
У загальному випадку довільного впливу розкладання зображення змінної виходу (7) запишеться так:
, (13)
де s i , i = 1, ..., n - полюси передавальної функції W ( s ); s k , k = 1, ..., n F - полюси зображення впливу F ( s ); прийнято, що, тобто полюси впливу не рівні полюсів передавальної функції (немає узагальненого резонансу).
У виразі (13) перша група доданків визначає перехідну складову вимушеного руху y пров ( t ); друга група - що встановилася складова вимушеного руху y вуст ( t ), третя - вільні рухи y св ( t ):
.
Стале вимушене рух y вуст ( t ) обумовлено полюсами зображення впливу s k ; перехідна складова вимушеного руху y пров ( t ) утворюється через ненульових посленачальних умов (зміна початкових умов додатком у момент часу t = 0 конкретного впливу) і визначається полюсами передавальної функції; вільні рухи y св ( t ) мають місце при ненульових Предковічних умовах і також визначаються полюсами передатної функції.
Якщо аналізується автономна система автоматичного управління M s , подана у формі однорідного диференціального рівняння
; y (0),
то його рішення має вигляд:
. (14)
Якщо зображення Y ( s ) має кратні полюси, то замість формул (13), (14) записуються складніші вираження.
2.3 Побудова частотних характеристик
Частотні характеристики (6) - амплитудную R () і фазову можна отримувати експериментальним шляхом, якщо вдається подавати на вхід стійкого об'єкта гармонійні впливу різних частот з діапазону істотного для виявлення необхідних властивостей об'єкта. Статистичні методи непараметричної ідентифікації (спектральний аналіз) дозволяють оцінити значення частотних характеристик шляхом обробки часових послідовностей на вході і виході об'єкта.
Частотні характеристики можна отримати за часовими характеристиками за допомогою перетворення Фур...
