нкція,-підінтегральний вираз.
Якщо-одна з первісних для на інтервалі, то
,
де-довільна постійна.
Операція знаходження невизначеного інтеграла від деякої функції називається інтегруванням цієї функції. Відзначимо основні властивості невизначеного інтеграла.
Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює подинтегральной функції, тобто br/>В
Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цієї функції з точністю до постійного доданка, тобто
.
Постійна множник можна виносити за знак інтеграла
В
Інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює такій же сумі інтегралів від цих функцій окремо
В
Основу обчислювального апарату інтегрального числення становить таблиця невизначених інтегралів від основних елементарних функцій, що приводиться нижче.
Таблиця 7.
№
пп
Подинт.
функція
Невизначений
інтеграл
№
пп
Подинт.
функція
Невизначений
інтеграл
1
0
В
8
В В
2
1
В
9
1/
В
3
В В
10
1/
-
4
1/
В
11
В В
5
В В
12
В В
6
В В
13
В В
7
В В
14
В В
Приклад 1. Знайти інтеграл
Рішення. Скористаємося табличним інтегралом від статечної функції (п.3 в таб.7) для
:
Перевіримо правильність обчислення дифференцированием правій частині
.
Отримано подинтегральная функція, що говорить про правильне знаходженні невизначеного інтеграла.
При обчисленні невизначених інтегралів наведену таблицю доповнюють спеціальними прийомами і методами інтегрування, два з яких розглянуті нижче. p> Інтегрування заміною змінної (підстановкою)
Заміна змінної - один з найефективніших прийомів інтегрування, який грунтується на наступному.
Нехай потрібно знайти У ряді випадків вдається вибрати в якості нової змінної таку дифференцируемую функцію, що має місце рівність, причому функція легко інтегрується, тобто p> Тоді
В
Вдала заміна змінної дозволяє спростити вихідний інтеграл і в ряді випадків звести його до табличного. p> Приклад 2. Знайти p> Рішення. Покладемо. Тоді. Помножимо і розділимо вихідний інтеграл на число 3 і виконаємо наступні перетворення
В
Отриманий інтеграл відноситься до табличних і, отже,
В
Зробимо перевірку диференціюванням:
.
Отримана похідна співпадає з подинтегральной функцією вихідного
інтеграла, що говорить про правильність обчислень.
Приклад 3. Обчислити p> Рішення. Щоб виявити заміну, за допомогою якої може бути обчислений цей інтеграл, перетворимо його до виду
В
Якщо покласти , Тоді і в результаті отримаємо
В
Інтегрування по частинах
Цей метод грунтується на наступному твердженні. Нехай функції діфференцируєми і існує первісна для функції Тоді існує первообразная і для функції
причому справедлива формула
,
звана формулою інтегрування частинами.
Приклад 4. Знайти p> Рішення. Покладемо Тоді
В
Довільну постійну в цих випадках виключають і записують
Тепер, застосовуючи формулу інтегрування по частинах, отримаємо
В
Іноді формулу інтегрування частинами доводиться застосовувати неодноразово.
Приклад 5. Обчислити p> Рішення. Вважаючи, маємо
,.
Застосовуючи формулу інтегрування частинами, отримаємо
В
Ступінь змінної в подинтегральних вираженні зменшилася на одиницю. Повторимо застосування формули інтегрування по частинах. Поло-
жим
Звідси
Тоді
+
Питання для самоконтролю
Дайте визначення первісної функції.
Що називають невизначеним інтегралом?
Перерахуйте основні властивості невизначеного інтеграла.
У чому суть прийому, званого заміною змінної?
На чому заснований метод інтегрування частин...
