ами?
Завдання для самостійної роботи
Знайти невизначені інтеграли, результати перевірити диференціюванням:
Номер варіанта
А)
Б)
1
В В
2
В В
3
В В
4
В В
5
В В
6
В В
7
В В
8
В В
9
В В
10
В В
Тема 6. Диференціальні рівняння 1-го порядку
Диференційним рівнянням (ДУ) називають рівняння, що зв'язує шукану функцію однієї або декількох змінних, ці змінні і похідні різних порядків даної функції.
У разі, коли шукана функція залежить від однієї змінної, диференціальне рівняння називається звичайним. У загальному вигляді воно записується:
. (1)
Порядок старшої похідної шуканої функції, що входить до запис рівняння (1), називається порядком диференціального рівняння.
Рішенням рівняння називається така функція, яка при підстановці її в рівняння (1) звертає його в тотожність. Задача знаходження рішення ДУ називається завданням інтегрування даного ДУ, а графік вирішення ДУ називається інтегральною кривою.
Спільним рішенням ДУ виду (1) - го порядку називається функція
,
де - довільні постійні.
Приватним рішенням ДУ називається рішення, одержуване із загального рішення при конкретних числових значеннях постійних.
Диференціальне рівняння 1-го порядку, дозволене відносно похідної, записується в загальному вигляді
. (2)
Його загальним рішенням є функція однієї довільної сталої
. (3)
Для отримання однозначного рішення потрібно задати початкове умова, яку геометрично являє собою завдання точки площини, через яку проходить дана інтегральна крива. Наприклад, воно може бути записано у вигляді
= const.
З використанням даної умови спільне рішення (3) запишеться
,
що дозволяє визначити з отриманого співвідношення конкретне значення постійної і тим самим отримати деяке приватне рішення рівняння (2).
ДУ 1-го порядку називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо воно може бути представлено у вигляді
. (4)
Для знаходження спільного рішення такого рівняння його перетворюють до виду, в якому диференціал і функція опиняться в одній частини рівняння, а й - в інший:
. (5)
Потім інтегруються обидві частини отриманого рівності (з однією спільною постійної)
.
Приклад 1. Знайти рішення наступного ДК:. p> Рішення. Спочатку перетворимо рівняння до виду (4)
,
а потім до увазі (5):
.
Знайдемо інтеграл від лівої частини. Для цього представимо подинтегральную функцію у вигляді наступної суми
.
Прирівнюючи числители, отримуємо
.
Знайдемо з останнього рівності і, послідовно поклавши в ньому = 0 і = -1:
При = 0 маємо = 1, а при = -1 отримуємо = -1.
Звідси
.
Інтеграл від правій частині є табличним і дорівнює.
Запишемо довільну постійну у вигляді. p> Тоді
.
Звідси
або.
Дозволяючи відносно, остаточно отримуємо загальне рішення рівняння
.
Диференціальне рівняння 1-го порядку називається лінійним, якщо воно має вигляд
. (6)
Якщо 0, то рівняння (6) називають однорідним, в іншому випадку - неоднорідним.
Один з варіантів вирішення рівняння (6) зводиться до подання рішення у вигляді твори двох функцій
, (7)
одна з яких є довільною, а інша визначається з рівняння (6).
Так як
, (8)
то підставляючи (7) і (8) у рівняння (6), отримаємо:
. (9)
Вважаючи функцію довільної, знайдемо її з умови рівності нулю виразу в круглих дужках рівняння (9), тобто як приватне рішення рівняння:
,
яке є рівнянням із перемінними.
Тоді при визначеній) можна знайти функцію із решти спрощеної (за рівності нулю вираз в круглих дужках) частини рівняння (9):
,
яка також є диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними. Знайдені і визначають загальне рішення вихідного диференціального рівняння. p> Приклад 2.Найті загальне і приватне рішення рівняння з початковою умовою...
