акоже ВСІ Підстави вважаті, что відхілення результатів вімірювання рівноймовірні в обідві Сторони від істінного Значення ФІЗИЧНОЇ величину. Тому математичне сподівання віпадкової похібкі, а значити ее Густина розподілу та інтегральна функція матімуть вигляд
, (6.1.1)
. (6.1.2)
Результати вімірювання ФІЗИЧНОЇ Величини є випадкове завбільшки X . Если похібка вімірювання розподілена нормально, то и Розподіл віпадкової Величини X є Нормальним:
(6.1.3)
з математичность сподіванням, Яку дорівнює істінному значень a ФІЗИЧНОЇ величини, та дісперсією. Результат окрем вімірювання є елементом з нескінченної множини можливіть результатів вимірювань в одинакових умів (Такі вімірювання назівають рівноточнімі ). Нескінченна множини значень віпадкової Величини X є генеральні сукупністю з нормальним законом розподілу, середньоарифметична Значення Якої дорівнює математичность сподіванню, Яке, у свою черго, дорівнює істінному значень ФІЗИЧНОЇ величину. Це означає, что для одержимий ання істінного Значення ФІЗИЧНОЇ Величини звітність, віконаті нескінченну кількість вимірювань. Але на практіці кількість вимірювань обмеже, и того найти істінне Значення ФІЗИЧНОЇ величина у результаті вимірювань принципова Неможливо. Можна позбав поставіті завдання найти набліжене Значення ФІЗИЧНОЇ Величини и оцініті ее похібку. А ця задача за основною гіпотезою зводіться до знаходження статистичних оцінок параметрів нормального розподілу.
8.2 Статистичні ОЦІНКИ параметрів нормального розподілу
Результати вімірювання ФІЗИЧНОЇ Величини є випадкове завбільшки X . Если похібка вімірювання розподілена нормально, то и Розподіл віпадкової Величини X є Нормальним
(6.2.1)
з математичность сподіванням, Яке у математічній статістіці назівають генеральним середнім и позначають, та дісперсією (у матстатістіці).
Методом максімальної правдоподібності можна довести, что Точковой Статистичнй оцінкамі параметрів нормального розподілу (6.2.1) є:
, (6.2.2)
, (6.2.3)
Оцінка (6.2.3) є зміщеною и того Статистичною оцінкою параметра є корінь квадратний Із "віправленної" дісперсії (1.4) - "Виправленому" середньоквадратічне відхілення:
. (6.2.4)
Довірчій Інтервал
(6.2.5)
покріває невідоме Значення математичного сподівання Із надійностю (Ймовірністю). Параметр знаходится як розв'язок рівняння, - інтеграл Лапласа. Величина
(6.2.5a)
характерізує точність ОЦІНКИ (6.2.2). З ее Використання довірчій Інтервал можна записатися у вігляді
(6.2.5b)
Приклад 6.2.1. Випадкове величина має нормальний параметр з відомим середньоквадратічнім відхіленням. Знайте довірчі інтервалі для ОЦІНКИ невідомого математичного сподівання по вібірковому СЕРЕДНЯ, ЯКЩО об'єм Вибірки и задана Надійність ОЦІНКИ.
Розв'язування . Згідно (6.2.5) довірчій Інтервал для ОЦІНКИ математичного сподівання нормального розподілу є
В
Параметр задовольняє рівнянню. Розв'язок рівняння Зх. Точність ОЦІНКИ математичного сподівання. Довірчій Інтервал для ОЦІНКИ математичного сподівання з надійністю 0.9
Если параметр Невідомий, то довірчій Інтервал, Який покріває з надійністю, матіме вигляд
. (6.2.6)
Параметр є розв'язком рівняння, - Густина розподілу Стьюдента,
(6.2.6a)
точність ОЦІНКИ (6.2.2) за Стьюдента. p> Приклад 6.2.2. Кількісна ознака генеральної сукупності розподілена нормально. Для Вибірки об'єму знайдено вібіркове середнє та "Виправленому" середньоквадратічне відхілення. Знайте довірчій Інтервал для ОЦІНКИ математичного сподівання з надійністю.
Розв'язування . Згідно (2.6) довірчій Інтервал, Який звітність, знайте,
,
Параметр задовільняє рівнянню. При розв'язок рівняння. Точність ОЦІНКИ математичного сподівання за Стьюдента. Отже, довірчій Інтервал для ОЦІНКИ математичного сподівання з надійністю 0.9
Нехай, де візначається рівністю. Если, то довірчій Інтервал
для ОЦІНКИ середньоквадратічного відхілення нормального розподілу з надійністю має вигляд
. (6.2.7a)
Значення q находится як розв'язок рівняння
, (6.2.8a)
де,.
Если, то довірчій Інтервал
, (6.2.7b)
а значення q находится як розв'язок рівняння
. (6.2.8b)
Функція
(6.2.9)
Густина розподілу величин "хі"
. (6.2.10)
Приклад 6.2.3. Кількісна ознака генеральної сукупності розподілена нормально. Для Вибірки об'єму знайдено "Виправленому" середньоквадратічне відхілення. Знайте довірчій Інте...
