О”L ==,
а довжина всієї ламаної MMM ... MM дорівнює
L = О”L =.
Довжина кривої AB, за визначенням, дорівнює L = L = О”L. Зауважимо, що при О”L 0 також і О”X 0 (О”L = і отже | О”X | <О”L). Функція неперервна на відрізку [a, b], так як, за умовою, неперервна функція f (X). Отже, існує межа інтегральної суми L = О”L =, коду max О”X 0:
L == dx.
Таким чином, L = dx.
Приклад : Знайти довжину кола радіуса R. (Рис 3) [5]
Рішення:
Знайдемо Вј частина її довжини від точки (0; R) до точки (R; 0). Так як y =, Вј L = dx = R arcsin = R. br/>
В В
Рис 3
br/>
Значить L = 2 R. p> Полярні координати
Нехай крива AB задана рівнянням в полярних координатах r = r (),В . Припустимо, що r () і r () безупинні на відрізку [].
Якщо в равенствах x = r cos, y = r sin, зв'язують полярні і декартові координати, параметром вважати кут, то криву AB можна задати параметрично
Тоді
В
Тому
==
В
Застосовуючи формулу L =, отримуємо
L =
Приклад: Знайти довжину кардіоїди r = a (1 + cos).
[5]
Рис 4
br clear=ALL>
Рішення: Кардіоїда r = a (1 + cos) симетрична щодо полярної осі. Знайдемо половину
(Рис 4) довжини кардіоїди:
ВЅ L == a = a = 2a cos d = 4a sin = 4a.
В
3.2.2 Обчислення обсягу тіла
Обчислення об'єму тіла за відомими площами паралельних перерізів
Нехай потрібно знайти об'єм V тіла (рис 5), причому відомі площі перетинів цього тіла площинами, перпендикулярними деякої осі, наприклад осі Ox : S = S ( x ), a ≤ x ≤ b [5]
Застосуємо схему II (метод диференціала).
Рис 5
br/>
1. Через довільну точку x [а; b] проведемо площину П, перпендикулярну осі Ох . Позначимо через S ( x ) площа перерізу тіла цією площиною; S ( x ) вважаємо відомою і безперервно змінюється при зміні x. Через v ( x ) позначимо обсяг частини тіла, що лежить лівіше площині П. Будемо вважати, що на відрізку [а; x] величина v є функція від x , т. е. v = у ( x ) (v (a) = 0, v (...
