в вигляді інтегральної суми:
A ≈ f (c) ΔX + ... + F (c) ΔX = f (c) ΔX
1. Шукана величина А дорівнює межі інтегральної суми, тобто
A = f (c) О”X = f (x) dx.
Зазначений "метод сум", як бачимо, заснований на поданні інтеграла як про суму нескінченно великого числа нескінченно малих доданків.
Схема I була застосована для з'ясування геометричного і фізичного змісту певного інтеграла.
Друга схема представляє собою кілька видозмінену схему I і називається "метод диференціала" або "метод відкидання нескінченно малих вищих порядків ":
1) на відрізку [а, b] вибираємо довільне значення х і розглядаємо змінний відрізок [a, x] . На цьому відрізку величина A стає функцією x : А - А ( x ), т. е. вважаємо, що частина шуканої величини А є невідома функція А ( x ), де x т . е. [А, b] - один з параметрів величи-ни А;
2) знаходимо головну частину приросту О”A при зміні x на малу величину О” x ; = d х, т. е. знаходимо диференціал dA функції A = А ( x ): d A - f ( x ) dx , де f ( x ), обумовлена ​​з умови задачі, функція змінної x (тут також можливі різні спрощення);
3) вважаючи, що d А ≈ О”A при О”x 0, знаходимо шукану величину шляхом інтегрування dA в межах від а до b:
A (b) = A = f (x) dx.
3.2 Інтегральне числення в геометрії
В
3.2.1 Обчислення довжини дуги плоскої кривої
Прямокутні координати
Нехай в прямокутних координатах дана плоска крива AB, рівняння якої y = f (x), де a ≤ x ≤ b. (Рис 2) [7]
Під довжиною дуги AB розуміється межа, до якого прагнути довжина ламаної лінії, вписаної в цю дугу, коли число ланок ламаної необмежено зростає, а довжина найбільшого ланки її прагнути до нуля.
Застосуємо схему I (метод сум).
1. Точками X = a, X, ..., X = b (X ≤ X ≤ ... ≤ X) розіб'ємо відрізок [a, b] на n частин. Нехай цим точкам відповідають точки M = A, M, ..., M = B на кривій AB. Проведемо хорди MM, MM, ..., MM, довжини яких позначимо відповідно через О”L, О”L, ..., О”L. p>
Рис 2
br/>
Отримаємо ломанную MMM ... MM, довжина якої дорівнює L = О”L + О”L + ... + О”L = О”L.
2. Довжину хорди (або ланки ламаної) О”L можна знайти за теоремою Піфагора з трикутника з катетами О”X і О”Y:
О”L =, де О”X = X - X, О”Y = f (X) - f (X).
По теоремі Лагранжа про кінцевому прирості функції О”Y = (C) О”X, де C (X, X). Тому
...
