падкова змінна прийме значення, менше x, представлена ​​в MATLAB файл-функціями normcdf (x, mu, sigma) і cdf (Normal, x, mu, sigma).
Диференціювання функції кумулятивного розподілу призводить до функції щільності ймовірності
f (x | Ој,?) = F (x | Ој,?).
clear, clct x mu sigma pi = int (exp (- (t-mu) ^ 2/2/sigma ^ 2), t, - inf, x)/sigma/(2 * pi ) ^ (1/2); = diff (F, x) = 1/(sigma * exp ((mu - x) ^ 2/(2 * sigma ^ 2)) * (2 * pi) ^ (1/2 ))
Побудувати графік кумулятивних функцій нормального розподілу із середнім значенням Ој = 0 і стандартними відхиленнями ? = 1,2,3 ( рис. 1.8)
x = -4:0.1:4; = 0; sigma = 1; sigma <= 3 = normcdf (x, mu, sigma); (x, F, 'k', 'LineWidth' , 1.5), hold on = sigma +1;
% ('Нормальний розподіл mu = 0, sigma = var') ('x') ('F') (0.8, 0.95, ' sigma_1 = 1'); (1.5, 0.88, ' sigma_2 = 2'); (2.8, 0.78, ' sigma_3 = 3');
В
Встановити зв'язок функції помилок erf (x) = з нормальним розподілом F (x) =, що має параметри Ој = 0 і? =.
Так як F () = +,
то, обчислюючи перший інтеграл
clear, clct (exp (-t ^ 2), t, - inf, 0) = pi ^ (1/2)/2
і підставляючи знайдене значення у формулу для F, отримаємо
erf (x) = 2F () - 1.
Перевіримо цей зв'язок:
clear, clct x mu sigma pi = int (exp (- (t-mu) ^ 2/2/sigma ^ 2), t, - inf, x)/sigma/(2 * pi) ^ (1/ 2); = 2 * subs (F, {mu, sigma}, {0,1/2 ^ (1/2)}) - 1; = simplify (erf) (F, 'k', 'LineWidth', 1.5 ), hold on = erf (x).
Спочатку вирішимо завдання аналітично. Для цього використовуємо визначення величини P через інтеграл
P =
Так як
В
то розбиваючи діапазон зміни змінної інтегрування на 3 області (-?, Ој-?),
В
Враховуючи, що
В
і отже
-
знаходимо
В
Вирішимо задачу чисельно, вважаючи, наприклад, Ој = 5,? = 1,? = 1.
clear, clcx pi = 5; sigma = 1; epsilon = 1; = 1/2 * exp (-1/2 * (x-mu) ^ 2/sigma ^ 2)/sigma * 2 ^ (1/ 2)/pi ^ (1/2);
disp ('Пряме обчислення вихідного інтеграла')
P = int (f, x, mu-epsilon, mu + epsilon), P = vpa (P, 5)
disp ('Обчислення інтегралів, що визначають кумулятивну функцію')
P = int (f, x, - inf, mu + epsilon) - int (f, x, - inf, mu-epsilon); = simplify (P), P = vpa (P, 5)
disp ('Обчислення різниці значень кумулятивної функції')
P = normcdf (mu + epsilon, mu, sigma) - normcdf (mu-epsilon, mu, sigma)
Пряме обчислення вихідного інтеграла
P = erf (2 ^ (1/2)/2)
P = 0.6...
