В
Отже, ймовірність підвищення курсу акції через один місяць становить 0,5163, а ймовірність його зниження - 0,4837. Знаючи значення та і d, можна розрахувати курсову вартість акції для будь-якого періоду часу, тобто для кожної точки перетину гілок дерева, наприклад зазначеного на рис.2. Якщо ж розглядається Біноміальна модель для акцій, за якими сплачуються дивіденди, що в основному позначається на розмірі премії, то курс акцій на дату обліку знижується на величину виплачуваного дивіденду. Відповідно, дерево розподілу ціни акції бере з урахуванням допущення вигляд, аналогічний вказаному вище. Послідовним дисконтуванням цін опціону (з урахуванням ймовірності підвищення і пониження вартості активу на кожному інтервалі часу) отримують значення його ціни в момент укладання контракту. При цьому чиста ціна акції зменшується на величину наведеної (дисконтованої) вартості дивіденду, що має місце протягом терміну виконання опціону. br/>
Дерево розподілу премії європейського опціону
В
На малюнку 3 показані вузли А і В, що відповідають моменту часу Т, і вузли С і D відповідають моменту часу Т - О” t, вузол Е відповідає моменту часу Т - 2О” t. Нехай S - ціна акції для вузла С, S '- ціна акції для вузла В, і S "- ціна акції для вузла А. V '- ціна опціону для вузла В, і V" - ціна опціону для вузла А. Ціни опціону для всіх вузлів, що відповідають моменту часу Т, визначаються однозначно. Наприклад якщо ми розглядаємо опціон В«колВ», то його ціна для вузлів В і А визначається за такими формулами:
В
Якщо ми розглядаємо опціон В«путВ», то:
В
Від конкретного способу визначення цін опціону для вузлів, що відповідають моменту часу Т, подальші етапи алгоритму не залежать. Важливо, що для моменту часу Т для всіх вузлів ціна опціону відома. Найближчим завданням є визначення ціни опціону V для вузла С. У момент часу Т - О” t, перебуваючи у вузлі С, ми хочемо скласти портфель з акцій і безризикових облігацій (З погашенням в момент часу Т) так, щоб при будь-якому можливому для вузла З Під кінець (тобто при переході або в вузол А або в вузол В), ціна цього портфеля в момент часу Т збіглася б з ціною опціону. Тобто ціна цього портфеля повинна дорівнювати V 'у вузлі В і V "у вузлі А. Портфель з такою властивістю, якщо він існує, називається синтетичним опціоном. Якщо вдасться побудувати такий портфель, то його ціна в момент часу Т - О” t і повинна бути прийнята за ціну опціону для вузла С. Противне означало б наявність арбітражу. p> Побудуємо для моменту часу Т - О” t і ціни акції S (тобто для вузла С) синтетичний опціон з Оґ акцій і ОЅ безризикових облігацій (з погашенням в момент часу Т). Повинні виконуватися умови:
В
Ця система алгебраїчних рівнянь має єдине рішення:
В
Таким чином:
В
Формули (2) і (3) визначають ціну опціону для вузла С. Аналогічно може бути визначена ціна опціо...
