их m.Встречающееся тут число ? (m), яке за пропозицією Гауса називають тепер В«функцією ЕйлераВ», останній представив в тій же роботі у вигляді
? (m) = m (1-1/p) (1-1/p , ) ...,
де р, p , , ... - прості дільники числа m. Якщо m саме є просте число, то числа 1, 2, 3, ..., (р - 1) будуть з ним взаємно простими, і виходить важлива теорема, висловлена ​​Дж. Вільсоном і опублікована в 1770 Варінг в його В«алгебраїчну роздумахВ» . Теорема ця говорить, що величина 1 * 2 * 3 ... (Р-1) +1 ділиться без залишку на p, де р, як і всюди тут, - просте число. Ця теорема, як і теорема Ферма, полягає в установленому Лагранжем загальному порівнянні
x p-1 - 1? (X + l) (x + 2) ... (x + р - 1) (mod р)
при x = 0. Вона була також доведена Ейлером (В«Аналітичні твориВ», I, 1783) і Гауссом (В«Арифметичні дослідженняВ», 1801). Спрощене доказ теореми Ферма дав ще І.Г. Ламберт, охоче займався і теорією чисел (Nov. Acta Enid., 1769). p align="justify"> До найважливіших досягнень у дослідженні цілих чисел Ейлера призвели старання довести іншу, згадувану вже, теорему Ферма про те, що всяке просте число виду 4т + 1 розбивається на суму двох квадратів. Ейлер багаторазово і з різних сторін підходив до цієї теореми і при цьому знайшов ряд цікавих пропозицій. Остаточно довести її Ейлера вдалося лише в 1749 [Nov. Comm. Ac. Petr., 1754/55 (1760)], скориставшись тим ходом думок, яким він йшов у першому доведенні теореми про порівняння а m ? 1 (mod р). Це привело його до розгляду залишків від ділення квадратів 1 2 , 2 2 , З 2 , ..., (р-1) 2 на просте число р. Ейлер негайно побачив, що при цьому виходять В«багато чудові властивості, вивчення яких проливає чимало світла на природу чиселВ». Таким чином, він вперше поставив питання про квадратичних відрахуваннях і зрозумів їх значення. Тут вже зустрічаються і терміни: відрахування (residua) і невирахувань (поп residua).
.4 Формула Ейлера
Формула Ейлера названа на честь Леонарда Ейлера, який її ввів, і пов'язує комплексну експоненту з тригонометричними функціями. Формула Ейлера стверджує, що для будь-якого дійсного числа x виконано наступне рівність:
e ix
