то прямують до точки на одінічному колі НЕ Тільки по радіаннім, альо ї по недотічнім и даже по довільнім шляхам.
Функції и Із (1.4) являються собою дійсну и уявно Частини Функції
,
регулярної при . Таким чином, и - гармонійні Функції, тоб в декартових координатах смороду задовольняють Рівність Лапласа
.
Кожна дійсна гармонійна функція всередіні одінічного кола є дійсною Частинами деякої регулярної Функції. Відповідно, ЯКЩО - гармонійна в крузі , то
.
Нехай - неперервно и періодічна функція, и нехай - полярні координати точки. Теорема 2 стверджує, что інтеграл Пуассона від прямує рівномірно до при . Іншімі словами, інтеграл Пуассона Дає у випадка кола розв язок (єдиний) наступної задачі Діріхле. Нехай дано:
(I) плоска область , обмеже плоскою замкнута крива ,
(II) функція , Визначи и неперервно для ; нужно найти функцію , гармонійну у , неперервно в и яка співпадає з на . У випадка одінічного кола інтеграл Пуассона Дає розв язок Загальної задачі Діріхле, де - довільна інтегральна функція.
2. НАБЛІЖЕННЯ -ДІФЕРЕНЦІЙОВНІХ ФУНКЦІЙ ІНТЕГРАЛАМІ Абель-Пуассона
.1 ПОСТАНОВКА Задачі ТА ДЕЯКІ Допоміжні ТРЕРДЖЕННЯ
- простір -періодичних неперервно функцій з нормою
;
- простір -періодичних вімірніх Суттєво обмежених функцій з нормою
;
- простір -періодичних сумовних функцій з нормою
