ребувала в стані S0, а за час At не вийшла з нього.
Вивести систему з цього стану (див. граф на рис. до задачі) можна сумарним найпростішим потоком з інтенсивністю , з імовірністю, приблизно рівною
В
А ймовірність того, що система не вийде зі стану S0, дорівнює . Ймовірність того, що система буде перебувати в стані S0 і не вийде з нього за час At, дорівнює по теоремі множення ймовірностей:
В
Система в момент t з ймовірністю p1 (t) (або p2 (t)) перебувала в стані S1 або S2 і за час At перейшла в стан
Потоком інтенсивністю система перейде в стан So з імовірністю, приблизно рівною . Ймовірність того, що система буде перебувати в стані So, за цим способом дорівнює (або )
Застосовуючи теорему додавання ймовірностей, отримаємо:
В
Звідки
В
Переходячи до межі при At 0 (наближені рівності перейдуть в точні), отримаємо в лівій частині рівняння похідну (позначимо її для простоти ):
В
Отримано диференціальне рівняння першого порядку, тобто рівняння, що містить як саму невідому функцію, так і її похідну першого порядку.
Міркуючи аналогічно для інших станів системи S, можна отримати систему диференціальних рівнянь Колмогорова для ймовірностей станів:
В
Сформулюємо правило складання рівнянь Колмогорова. У лівій частині кожного з них стоїть похідна ймовірності i-го стану. У правій частині - сума творів ймовірностей всіх станів (з яких йдуть стрілки в даний стан) на інтенсивності відповідних потоків подій мінус сумарна інтенсивність всіх потоків, які виводять систему з даного стану, помножена на ймовірність даного (i-го стану
В системі, зазначеної вище, незалежних рівнянь на одиницю менше загального числа рівнянь. Тому для вирішення системи необхідно додати рівняння
В
Особливість рішення диференціальних рівнянь взагалі полягає в тому, що потрібно задавати так звані початкові умови, в даному випадку - ймовірності станів системи в початковий момент t = 0. Так, наприклад, систему рівнянь природно вирішувати за умови, що в початковий момент обидва вузда справні і система перебувала в стані So, тобто при початкових умовах
В
Рівняння Колмогорова дають можливість знайти всі ймовірності станів як функції часу. Особливий інтерес представляють ймовірності системи p i (t)...
