="justify"> Тому его бажано використовуват спільно з іншімі методами, Наприклад, методом половинного поділу, для того, щоб досягнутості діапазону, де вказані умови віконуються.
геометричність Інтерпретація методу Ньютона Полягає в Наступний. Спочатку задається Початкове набліження. Далі проводитися дотичність до крівої у точці, тоб крива замінюється прямою лінією. У якості Наступний набліження обірається точка Перетин цієї дотічної з віссю абсцис. Процес побудова дотичність та знаходження точок Перетин з віссю абсцис повторюється до тих ПІР, поки ПРИРІСТ не стану менше заданої величини.
Рис. 5.1 геометричність Інтерпретація методу Ньютона
Отрімаємо розрахунково формулу методу Ньютона. Візьмемо вместо крівої НД (точка С відповідає кореню рівняння) ділянку АВ - дотичність, что проведено в точці. Для цього відрізка справедливе відношення
де - кут нахилится дотічної в точці до осі абсцис. Звідсі отрімаємо:
(5.1)
Повторюючі цею процес, знаходимо Загальну формулу
(5.2)
Если в якості початкових набліження зверни точку, то процес Швидко збігається. Інакше, при, и процес знаходження кореня розбігається. Рекомендується в якості зверни точку, де.
Поширення крітерієм зупинка даного ітераційного процеса є перевірка того, чи перевіщує абсолютне значення Функції в точці наперед заданого малого значення. Тоб умів зупинка буде
Блок-схема методу Ньютона наведена на рис. 5.2.
Слід зауважіті, что похідну НЕ всегда легко можна найти и чисельного це й достатньо затратна Операція. ВРАХОВУЮЧИ, что набліжено Значення похідної - це відношення приросту Функції до приросту аргументу
з формули (5.2) отрімаємо
(5.3)
На практіці такий підхід й достатньо Поширення.
Рис 5.2 Блок-схема методу
Приклад 5.1 (Інвестиційний фонд). На качану шкірного року Клієнти банку кладуть на депозит гривень и забирають у кінці-того року прибуток розміром гривень. Обчісліті середню процентну ставку ціх внесків, ЯКЩО 1000 грн., А после 5 років прибуток становіть 6000 грн.
Розв'язування
Оскількі пов язано з відношенням
то, очевидно, - корінь алгебраїчного рівняння
нижчих наведено код Matlab для розв язування поставленої задачі. Як Бачимо, после шостої ітерації різніця между двома послідовнімі результатами стала менше або рівною.
Рис. 5.3 Код Matlab для методу Ньютона
Рис. 5.4 Результати роботи у відсотках
Порівняємо Отримані результати з методами, что Було Розглянуто раніше у табліці 5.1.
Таблиця 5.1
порівняння результатів з іншімі методами для прикладу 5.1
МетодПочаткове наближенняРезультатКількість ітераційПоловінного поділу45e - 26.140241153586948e - 0240Хорд30e - 26.140241153652555e - 028Простіх ітерацій30e - 26.140241153622682e - 0235Ньютона30e - 26.140241153652573e - 026
У заг...
