ально випадка метод Ньютона збігається ні при всех значеннях початкових набліження, а позбав при тихий, что Достатньо блізькі до кореня. На практіці часто отримуються за помощью Виконання кількох ітерацій методу половинного поділу або за результатами графічного розв язку рівняння.
Такоже існують достатні умови збіжності методу Ньютона:
1) Визначи та двічі діференційована на відрізку;
) відрізку захи позбав один простий корінь, тому;
) похідні, зберігають на знак, і;
) Початкове набліження задовольняє нерівність, тоб знаки и однакові.
Тоді помощью методу Ньютона (5.2) можна обчісліті корінь рівняння (*) з будь-Якою точністю.
Відносно Загальної точності методу нужно зауважіті, что ВІН характерізується Квадратичне збіжністю Поблизу кореня и лінійною далеко від нього.
Приклад 5.2. Методом Ньютона з точністю уточніті корінь трансцендентного рівняння, причому Шуканов корінь
Розв язання
Можна переконатіся, что на відрізку віконуються умови збіжності 1-3.
задам Початкове набліження з умови 4. Оскількі для справедливо на, то, того.
Обчислення виконуємо за формулою
Результати обрахунків поміщено в таблиці 5.2.
Таблиця 5.2 Результати обчислень
З табліці можна сделать наступні Висновки:
) для Досягнення заданої точності нужно Було Виконати три ітерації за умів. Если вихід організовуваті за умів, то було б й достатньо позбав двох набліжень.
) Поблизу кореня кількість вірніх цифр у результатах подвоюється, оскількі ВСІ цифри в є вірнімі, в тій годину як у вірнімі є позбав три цифри после крапки.
) ШВИДКІСТЬ збіжності методу Ньютона більша за ШВИДКІСТЬ збіжності методу простої ітерацій (та ж точність булу досягнутості за 5 кроків).
Приклад 5.3. Знайте корінь рівняння методом Ньютона
Розв язання
У прікладі 4.2 Було відокремлено корінь задам Початкове набліження. Оскількі,, то і. Покладемо.
Обчислення віконуються за формулою
Їх результати наведено в табліці 5.3.
Таблиця 5.3 Результати обчислень
знайдення набліженій розв язок.
Приклад 5.4. Знайте корені рівняння методом Ньютона з точністю.
Розв язання
Процедура відокремлення коренів булу виконан в прікладі 4.3. У якості відрізків, Яким належати корені рівняння, Обираємо,,.
Оскількі, похідні, зберігають знак при, то умови збіжності віконуються.
Оскількі, похідні, зберігають знак при, то умови збіжності такоже віконуються.
Оскількі, похідні, зберігають знак при, то умови збіжності віконуються.
задам Початкові набліження:
- На відрізку Обираємо, оскількі;
- На відрізку Обираємо, оскількі;
На відрізку Обираємо, оскількі;
У поставлен...
