кове набліження. Розв яжемо задачу з різною точністю,. Виконаємо обчислення за формулою
Результати наведено в табліці 4.2.
Таблиця 4.2. Результати обчислень
012345 - 1.000-1.2599-1.3123-1.3223-1.3243-1.3246 - 0.25990.05240.01000.00200.0003
Если, то, а ЯКЩО, то.
Приклад 4.3. Знайте корені рівняння методом простих ітерацій з точністю.
Розв язання
Оскількі многочлен третього порядку, то рівняння має три корені. Візначімо кількість додатних та від ємніх коренів. Віпісуємо КОЕФІЦІЄНТИ многочлена: 1, - 1, - 9, 9. Оскількі кількість змін знаку, то рівняння має два додатних кореня або смороду відсутні. Далі віпісуємо КОЕФІЦІЄНТИ многочлена: - 1, - 1, - 9, 9. Оскількі кількість змін знаку, то кількість від ємніх коренів дорівнює одініці.
Рис. 4.6 Графікі и
Відокремімо корені третім способом, Для цього перетворімо рівняння до рівносільного вигляд та Знайдемо точки Перетин графіків і (рис. 4.6, вказано два з трьох отриманий проміжків).
Результат відокремлення коренів - три відрізкі,,. Відмітімо, что ЦІ проміжкі Можливо звузіті, Наприклад, вместо відрізка можна взяти.
Перетворімо рівняння до вигляд. Можна показати, что на відрізках, функція задовольняє умові.
На проміжку вікорістаємо Інший вигляд рівняння:. Оскількі, то на цьом проміжку віконується Достатньо Умова збіжності. У якості початкових набліжень оберемо:
Крапку на відрізку;
Крапку на відрізку;
Крапку на відрізку
У поставленій задачі. Виконаємо обчислення за формулою
з початково набліженнямі та І за формулою
з початково набліженням.
02.0000-12.35130.351322.60560.254332.76940.163842.86820.098852.92550.057362.95820.032772.97670.018582.98700.010292.99270.0057102.99590.0032112.99770.0018122.99870.0010 0-2.0000-1-2.84380.84382-2.98160.13783-2.99790.01634-2.99970.00185-2.999970.00027 00.50000-10.986110.486120.998490.0123830.999830.0013440.999980.00015
У результаті ОТРИМАНО набліжені Значення коренів:,,.
Звернемо уваг на значний відмінність у кількості ітерацій, что Потрібні для знаходження коренів та помощью однієї и тієї ж формули. Відмітімо, что в околі кореня значення модуля похідної Функції дорівнюють:; ; . З Іншого боку, в околі маємо:; ; . Аналіз показує, что чім менше Значення похідної, тім швідше відбувається збіжність.
5. Метод Ньютона (метод дотичність)
Метод Ньютона (метод дотичність або метод лінеарізації) є одним з найбільш популярних чисельного методів. ВІН Швидко збігається, оскількі має квадратичну збіжність, и допускає різноманітні модіфікації, что прістосовуються для розв язування векторних задач та сітковіх рівнянь. Прот цею метод Ефективний при й достатньо жорсткий ОБМЕЖЕНОЮ на характер Функції:
1) Існування Другої похідної Функції на множіні;
2) для всіх;
) Знакосталість для всіх.
