. (1.31)
Зауваження 1. Є загальні умови Коена і Лоутона на тригонометричний поліном, що забезпечують відновлення вейвлетов і, що породжують ортогональний кратномасштабного аналіз [5, стор 253,259,263].
.4.1 Частотна функція
Знайдемо функцію у вигляді, що задовольняє. Будемо шукати спочатку функцію, що задовольняє співвідношенню
. (1.32)
Маємо:
,
де - також тригонометричний поліном по. Дійсно, тригонометричний поліном по ступенях має дійсний коефіцієнти, тому, і тоді - парна-періодична функція, отже, поліном по. Оскільки, то його можна записати як поліном. Тоді
,
де.
Отже, шукаємо функцію виду
, (1.33)
задовольняє умові. Позначимо. Тоді з двох останніх співвідношень і з отримуємо
. (1.34)
Це рівність виконується для будь-якого, отже, і для будь-кого. Для знаходження із співвідношення скористаємося наступним фактом.
Лемма 1 (Безу). Якщо і - поліноми ступенів і без загальних, нулів, то існує єдині поліноми і ступеня, такі що
.
Використовуємо лемму для многочленів. Тоді існують єдині поліноми і ступеня менше, такі що
.
Зробимо заміну. Тоді. З єдиності многочленів і отримуємо. Тоді
. (1.35)
Оскільки шукане вираз для є. Знайдемо в явному вигляді з:
.
Розкладаємо перший співмножник в ряд Тейлора:
,
де - біноміальні коефіцієнти. Тоді
,
оскільки ступінь не перевищує. Отже, шукане рішення рівняння ступеня має вигляд
(1.36)
Зауваження 1. Ми отримали єдине рішення мінімальному ступені. Існують інші рішення більш високого ступеня. Якщо - рішення більш високого ступеня, то різниця - це рішення однорідного рівняння
. (1.37)
Оскільки співмножник не ділиться на, то ділиться на, отже,. Підставляючи цей вираз в рівняння, отримуємо єдина умова на многочлен:
.
Остання умова означає анітісімметрічность відносно, що в свою чергу означає, що є многочленом, що містить непарні ступеня змінної. Тоді рішенням рівняння є
, (1.38)
де - непарний многочлен.
Висновок. Функція задовольняє співвідношенню тоді і тільки тоді, коли функція є тригонометричним поліномом виду
де - многочлен виду (1.36) або (1.38), в якому підібраний так, що на відрізку.
Для знаходження потрібно «витягти квадратний корінь» з рівняння. Це дозволяє наступне.
Лемма Рісса. Нехай - ненегативний тригонометричний поліном виду
.
Тоді існує тригонометричний поліном виду
,
такий що.
Зауваження 2. Многочлен знаходиться по многочлену неоднозначно, наприклад можна помножити на, де - будь-яке ціле. Інші можливості вибору випливають з неоднозначності вибору першого кореня з четвірки коренів.
Зауваження 3. Для кожної четвірки комплексних коренів вибираємо пару або, таку що обидва кореня лежать або всередині, або зовні одиничного кола на комплексній площині.
Хоча існують шість способів вибору двох коренів з чотирьох, легко бачити, що інші комбінації двох коренів не даватимуть р...
