тичний розв'язок, а згодом був поширений на багато складніші похідні інструменти. В даний час чисельні методи поряд з методами статистичних випробувань (Монте-Карло) найчастіше використовуються в моделях обрахунку похідних інструментів, оскільки дозволяють максимально врахувати реальні умови операцій з ними.
У біномінальної моделі весь період дії опціонного контракту розбивається на ряд інтервалів часу; в розглянутому нижче випадку - на два періоди. Передбачається, що вартість опціону і вартість базового активу (в даному випадку акції) змінюється згідно розгалуженій системі на рис.14. Враховуючи дані про стандартному відхиленні курсу базисного активу, отримують значення його ціни для кожного інтервалу часу (будують дерево розподілу ціни). Так само визначають ймовірність підвищення і пониження курсової вартості активу на кожному відрізку тимчасового інтервалу. Маючи значення цін активу до моменту закінчення терміну дії опціону, визначають його можливі ціни в даний час. Після цього послідовним дисконтуванням цін опціону (з урахуванням ймовірності підвищення і пониження вартості активу на кожному інтервалі часу) отримують значення його ціни в момент укладання контракту.
Малюнок 14. Біноміальна модель ціноутворення опціонів
Техніка побудови біноміальної моделі є більш громіздкою, ніж метод Блека-Шоулза, але дозволяє отримати більш точні результати, коли існує кілька джерел невизначеності або велика кількість дат прийняття рішення.
В основі моделі лежать два припущення:
в одному інтервалі часу можуть бути тільки два варіанти розвитку подій (гірший і кращий);
інвестори нейтрально ставляться до ризику.
Простий приклад використання біноміальної моделі для розрахунку вартості інвестиційного проекту вже був використаний вище. Нагадаємо, що ми розглядали проект з одним інтервалом часу і двома варіантами реалізації рішень. Для кожного варіанту була оцінена ймовірність настання і розрахована вартість реального опціону. Обчислення вартості опціону даним методом, по суті, являє собою рух по дереву рішень raquo ;, де в кожній точці менеджери намагаються прийняти найкращі рішення. У підсумку грошові потоки, що виникають як наслідок майбутніх рішень, зводяться до приведеної вартості. Однак у реальному житті дерево рішень raquo ;, як правило, має набагато більше вузлів прийняття рішень (рис.15)
При побудові дерева рішень з великою кількістю дат прийняття рішень застосовуються ті ж принципи розрахунку вартості реального опціону, що і для розглянутої вище одноступінчастої моделі. Однак чим більше вузлів прийняття рішень, тим складніше зробити оцінку.
На практиці основні труднощі використання біноміальної моделі пов'язані з визначенням значень відносного зростання і зниження вартості бізнесу в кожному періоді, а також ймовірностей позитивного і негативного варіанти розвитку подій. Для розрахунку цих параметрів розроблені відповідні формули. Можливе зростання вартості бізнесу розраховується як:
=es,
де u - відносне зростання (значення даного параметра, наприклад 1,25, означає очікуване зростання вартості проекту в 25%); - стандартне відхилення середньорічної вартості проекту; - інтервал як частину року (наприклад,= 0,5, якщо рішення за проектом приймається раз на півроку).
Відносне зниження вартості (d) розраховується за формулою
=1: u.
Тоді ймовірність відносного зростання (П), виходячи з припущень про нейтральному ставленні до ризику, можна розрахувати як:
П=[(1 + r) - d]: u - d.
відповідності?? але ймовірність зниження вартості проекту буде дорівнює 1 - П.
Таким чином, дослідивши биноминальную модель можна сказати про те, що ця модель має важливе значення при аналізі інвестиційного проекту. За допомогою неї можна розрахувати вартість опціону, знаючи ціну активу і припустити як зростатиме ціна інструменту в залежності від ціни його активу.
Якби ми досліджували випадок з декількома періодами, портфель (акції, облігації та опціони) потрібно було б скорегувати: у ньому повинно бути стільки цінних паперів кожного виду, щоб портфель завжди був хеджувати. Якщо періоди часу скорочуються і операції здійснюються безперервно, то ми приходимо до моделі оцінки опціонів Блека - Шоулса. Модель Блека-Шоулса чи не суперечить біноміальної моделі, описаної в цьому розділі, якщо припустити, що операції здійснюються безперервно і в дуже короткі періоди. Оцінка вартості опціонів за допомогою біноміального методу при досить великій кількості дат прийняття рішень протягом року буде близька до значення, отриманому з використанням моделі Блека-Шоулза.
2.3 Модель Блека - Шоулса
