.
В
Рис. 2.6 Трикутник АВD і А1В1D1, пов'язані центром інверсії, рівні один одному і назад паралельні
В
Рис. 2.7 Багатогранник з центром інверсії З: грані попарно рівні і назад паралельні
Рис. 2.8 Багатогранник не має центру інверсії, тому що для грані q немає парної паралельної грані
2.4 Осі симетрії
Віссю симетрії називається пряма лінія, при повороті навколо якої на деякий певний кут фігура поєднується сама з собою.
Найменший кут повороту, що приводить фігуру до самосовмещенію, називається елементарним кутом повороту осі. Елементарний кут повороту осі a міститься ціле число разів у 360 В° :
/ a = n
де n - ціле число.
Число n, що показує скільки разів елементарний кут повороту осі міститься в 3600, називається порядком осі.
У геометричних фігурах можуть бути присутніми осі будь-яких порядків, починаючи від осі першого порядку і кінчаючи віссю нескінченного порядку.
Елементарний кут повороту осі першого порядку (n = 1) дорівнює 3600. Так як кожна фігура, будучи повернена навколо будь-якого напрямку на 3600, поєднується сама з собою, то всяка фігура має нескінченною кількістю осей першого порядку. Такі осі не є характерними, тому вони зазвичай не згадуються. p align="justify"> Вісь нескінченного порядку відповідає нескінченно малому елементарному куту повороту. Ця вісь присутня у всіх фігурах обертання в якості осі обертання. p align="justify"> Прикладами осей третього, четвертого, п'ятого, шостого і т. д. порядків є перпендикуляри до площини малюнка, що проходять через центри правильних багатокутників, трикутників, квадратів, п'ятикутників і т.п.
Таким чином, в геометрії існує нескінченний ряд осей різних порядків.
У кристалічних ж многогранниках можливі не будь-які осі симетрії, а тільки осі першого, другого, третього, четвертого і шостого порядку.
Осі симетрії п'ятого і вище шостого порядку в кристалах неможливі. Це положення є одним з основних законів кристалографії і називається законом симетрії кристалів. p align="justify"> Як і ін геометричні закони кристалографії, закон симетрії кристалів пояснюється гратчастим будовою кристалічної речовини. Дійсно, раз симетрія кристала є прояв симетрії його внутрішньої будови, то в кристалах можливі тільки такі елементи симетрії, що не суперечать властивостям просторової грати. p align="justify"> Доведемо, що вісь п'ятого порядку не задовольняє законам просторової грати і тим самим доведемо її неможливість в кристалічних многогранниках.
Припустимо, що вісь п'ятого порядку в просторовій решітці можлива. Нехай ця вісь буде перпендикулярна площині креслення, перетинаючи її в точці О (рис.2.9). В окремому випадку точка О може збігатися з одним з вузлів решітки. br/>В
Рис. 2.9 Вісь симетрії п'ятого порядку неможлива в просторових гратах
Візьмемо найближчий від осі вузол решітки А1, що лежить в площині креслення. Так як навколо осі п'ятого порядку все повторюється п'ять разів, то найближчих до неї вузлів у площині креслення повинно бути всього п'ять А1, А2, А3, А4, А5. Розташовуючись на однакових відстанях від точки О в вершинах правильного п'ятикутника, вони поєднуються один з одним при повороті навколо О на 360/5 = 72 В°. p align="justify"> Ці п'ять вузлів, що лежать в одній площині, утворюють плоску сітку просторової грати і тому до них застосовні всі основні властивості решітки. Якщо вузли А1 і А2 належать низці плоскої сітки з проміжком А1А2, то через будь-який вузол решітки можна провести ряд, паралельний ряду А1А2. Проведемо такий ряд через вузол А3. Цей ряд, що проходить і через вузол А5, повинен мати проміжок, рівний А1А2, т. к. в просторовій решітці всі паралельні ряди мають однаковою щільністю. p align="justify"> Отже, на відстані А3Аx = А1А2 від вузла А3 повинен знаходитися ще один вузол Аx. Однак додатковий вузол Аx виявляється лежачим ближче до точки О, ніж вузол А1, узятий за умовою найближчим до осі п'ятого порядку. p align="justify"> Таким чином, зроблене нами припущення про можливість осі п'ятого порядку в просторових гратах привело нас до явного абсурду і тому є помилковим.
Оскільки існування осі п'ятого порядку несумісне з основними властивостями просторової грати, то така вісь неможлива і в кристалах.
Аналогічним чином доводиться неможливість існування в кристалах осей симетрії вище шостого п...
