1, рівняння має більше одного рішення. Функція f безупинна, крім того,,. У силу властивості 2 рівняння на інтервалі має корінь. p> У задачі 3 потрібно було довести, що корінь рівняння належить деякому проміжку. Ми користувалися властивістю 2 безупинної на відрізку функції, приймаючої на кінцях цього відрізка значення різних знаків. Цей шлях не завжди призводить до мети при вирішенні подібних завдань. Іноді доцільно скористатися наступним властивістю диференційовних функцій.
Властивість 3 (Теорема Ролля). Якщо функція f неперервна на відрізку [a, b], дифференцируема на інтервалі (a, b) і f (a) = f (b), то існує точка така, що.
На геометричному мовою властивість 3 означає наступне: якщо, то на графіку кривої знайдеться точка С з координатами, де дотична до графіка паралельна осі x. p> Задача 1.15. Довести, що рівняння при, має не більше одного дійсного кореня.
Рішення.
Припустимо, що рівняння має, принаймні, два кореня і. Функція f, де дифференцируема на всій числової прямої. Так як, відповідно до властивості 3, її похідна на інтервалі має корінь. Однак при рівняння рішень не має. Отримане протиріччя показує, що рівняння не може мати більше одного кореня.
Задача 1.16. Довести, що багаточлен,,
має не більше n коренів.
Рішення.
Згідно властивості 3, між двома країнами многочлена лежить, принаймні, один корінь його похідної. Тому, якщо багаточлен f (x) має, різних коренів, то його похідна повинна мати не менше (k-1) коренів. Точно так само - не менше k-2 коренів і т.д., n-ая похідна - щонайменше (kn) коренів,. Це неможливо, так як є відмінною від нуля постійною.
Задача 1.17. Довести, що багаточлен має корінь між 0 і 1 (). p> Рішення.
Застосування властивості 2 до мети не приводить, оскільки. Розглянемо функцію g, де. Для неї функція f є похідною. Так як, відповідно до властивості 3, при деякому.
Задача 1.18. Довести, що рівняння не має дійсних коренів. p> Рішення.
Нехай, тоді. Якщо x - корінь рівняння, то, тобто функція f, в силу її безперервності, убуває в околиці кожного кореня. Зауважимо, що якщо рівняння має коріння, то вони негативні. Відомо, що багаточлен n-го ступеня має не більш n коренів. Позначимо черезВ - Найбільший з коренів. Тоді існує таке, що. Так як, то на інтервалі повинен знаходитися корінь x багаточлена f (x). одержали протиріччя.
Розглянемо рівняння виду, де f, g - взаємно зворотні, зростаючі функції, мають однакові області визначення. Покажемо, що це рівняння рівносильне рівнянню. (3)
У Справді, нехай а є коренем рівняння (3), тобто . Враховуючи, що область визначення функції g збігається з множиною значень функції f їм навпаки, можна записати:, або, тобто , А є коренем рівняння. p> Зворотно, нехай, але. Тоді або. першому випадку. Точно так само виходить протиріччя і в другому випадку. p> Таким чином, ...
