о при 0 x + (1/3) x 3 . p> Для цього достатньо встановити, що для зазначених x похідна функції tg x-x-(1/3) x 3 , дорівнює sec 2 x-1-x 2 , позитивна, тобто що tg 2 x - X 2 > 0, а це призводить до відомого нерівності tg x> x. p>
Задача 1.11. Довести, що при x> 0 виконується ln x ВЈ x-1.
Так як функція f (x) = ln x-x (x> 0) має похідну f / (x) = (1/x) -1> 0 (при 0 / (x) = (1/x) -1 <0 (при x> 1), то функція зростає поки x змінюється на проміжку (0,1], і убуває на проміжку [1; + ВҐ). Звідси отримуємо, що f (1) = -1 буде найбільшим значенням функції, так що для x> 0 виконується ln x ВЈ x-1.
1.3. Застосування похідної при вирішенні рівнянь
Покажемо, як за допомогою похідної можна вирішувати питання существова-ня коренів рівняння, а в деяких випадках і їх відшукання. Як і раніше основну роль тут будуть грати дослідження функції на монотонність, перебування її екстремальних значень. Крім того, буде використаний ряд властивостей монотонних і безперервних функцій.
Властивість 1. Якщо функція f зростає або убуває на деякому проміжку, то на цьому проміжку рівняння f (x) = 0 має не більше одного кореня.
Це твердження випливає безпосередньо з визначення зростаючій і зменшення функцій. Корінь рівняння f (x) = 0 дорівнює абсциссе точки перетину графіка функції y = f (x) з віссю x.
Властивість 2. Якщо функція f визначена і неперервна на проміжку [a, b] і на його кінцях приймає значення різних знаків, то між a і b знайдеться точка c, в якій f (c) = 0.
Задача 1.12. Вирішити рівняння
Рішення.
Зауважимо, що є коренем рівняння. Доведемо, що інших коренів це рівняння не має. Досліджуємо функцію f, де, на монотонність. Похідна. Встановимо проміжки, на яких функція зберігає знак. Для цього досліджуємо її на монотонність. Похідна. Так як при, то при. Отже, функція зростає при позитивних значеннях x;. Тому при. У силу парності функції вона приймає позитивні значення при всіх. Отже, f зростає на числової осі. Відповідно до властивості 1, рівняння має не більше одного кореня. Отже, - єдиний корінь рівняння.
Задача 1.13. Вирішити систему рівнянь
Рішення.
Система еквівалентна наступній:
З першого рівняння випливає, що, з другого -. Висловимо з першого рівняння x через y:В ,. Тоді. поклавши, отримаємо або. Похідна функції f, де, дорівнює. вона негативна при всіх значеннях t. Таким чином, функція f убуває. Тому рівняння має не більше одного кореня. Зауважимо, що є його коренем. Отже, єдине рішення системи.
Задача 1.14. Довести, що рівняння має єдиний корінь, лежить у інтервалі.
Рішення.
Рівняння рівносильними перетвореннями наводиться до виду, де. Функція f зростаюча, так як при всіх. Згідно властивості...
