сть функцій, яка сходиться в міру до функції f ( x ). У такому випадку існує підпослідовність
fn 1 (x), fn 2 (x), fn 3 (x), ... (N 1 2 3 <...),
сходиться до функції f ( x ) майже скрізь.
Д про до а із а т е л ь с т в о. Візьмемо послідовність позитивних чисел s 1 > s 2 > s 3 > Вј, для якої lim s k = 0.
Нехай, далі, h 1 + h 2 + h 3 + Вј (H k > 0) є сходиться позитивний ряд.
Тепер ми можемо побудувати необхідну послідовність індексів
n 1 2 3 <... (*) p> наступним чином: позначимо через n 1 натуральне число, для якого
mE (ВЅ f n1 -f ВЅ Ві s 1 ) 1 .
Таке число обов'язково існує, бо
mE (ВЅ f n -f ВЅ Ві s 1 ) В® 0 при n В® ВҐ.
Потім через n 2 позначимо то натуральне число, для якого
mE (ВЅ f n 2 -f ВЅ Ві s 2 ) h 2 , n 2 > n 1 .
Взагалі через n k ми позначаємо таке число, що
mE (ВЅ f nk -f ВЅ Ві s k ) k , n k > n k-1 .
Послідовність (*), таким чином, побудована.
Тепер встановимо, що майже скрізь на безлічі E буде
(**)
Дійсно, нехай
,.
Так як R 1 Г‰R 2 Г‰R 3 Г‰ ..., то (теорема 12)
mR i В® mQ
C іншого боку, очевидно, що так що mR i В® 0 і, стало бути, mQ = 0.
Залишається перевірити, що співвідношення (**) має місце для всіх x з безлічі E - Q.
Нехай x 0 ГЋ E - Q. Тоді x 0 R io . Інакше кажучи, при k Ві i 0
x 0 E (| f nk -f | Ві s k ),
і, отже,
| f nk (x 0 ) - f (x 0) | k , (k Ві i 0 )
і, оскільки s k В® 0, ясно, що f nk (x 0 ) В® f (x 0 ).
Теорема доведена.
Теорема Лебега дала привід до встановленню поняття збіжності за мірою. З іншого боку, за допомогою цієї ж теореми можна встановити дуже важливу теорему Д.Ф.Егорова.
Теорема 5 (Д.Ф.Егоров). Нехай на вимірному безлічі Е задана послідовність вимірюваних і майже скрізь кінцевих функцій f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , f 3 ( ...
