ми, що складається з послідовно включених ланок, дорівнює добутку передаточних функцій окремих ланок, складемо формулу для передавальної функції розімкнутої системи САУ, представленої на рис. 4. br/>
W (p) = (K1/p)? [K2/(T? p + 1)] = K1? K2? (1/p)? [1/(T? p + 1)].
Тут: К про = K1? K2; W o (p) = 1/(T? p + 1); s = 1.
Передавальна функція для помилки дорівнює:
S (p) =?/x = (T? p + 1)? p/[(T? p + 1)? p + Ко] (4)
При постійному сигналі х = х про = const стале значення помилки знаходимо за формулою ? вуст = S (p = 0)? х про . З формули (4) випливає, що S (p = 0) = 0, а, отже, і помилка ? вуст = 0 при будь-яких постійних значеннях х про ? 0 і К про ? 0.
Лекція 3. Стійкість лінійних систем САУ
САУ називається стійкою, якщо з часом вихідна величина прагне до сталому значенню при постійному значенні вхідного сигналу. Лінійна САУ називається нестійкою, якщо вихідна величина необмежено зростає з плином часу. Динаміка лінійних САУ, як зазначалося нами раніше, описується лінійним диференціальним рівнянням з постійними речовими коефіцієнтами:
an? y (n) + a (n-1)? y (n-1) +??? + A0? Y = bm? X (m) + b (m-1)? X (m-1) +??? + B0? X (1)
Рівність (1) виводиться з рівнянь окремих ланок, що утворюють систему САУ. Параметри ж перехідного процесу в САУ визначаються рішенням однорідного диференціального рівняння, одержуваного шляхом прирівнювання лівій частині рівності (1) нулю:
an? y (n) + a (n-1)? y (n-1) +??? + A0? Y = 0 (2)
Рішення даного рівняння має вигляд: y (t) = , (3)
де C i - постійні інтегрування;
p i - коріння характеристичного рівняння, одержуваного шляхом заміни в рівнянні (2) знака диференціювання на оператор Лапласа р:
an? р (n) + a (n-1)? р (n-1) +??? + A0 = 0 (4)
Як бачимо, вираз (3) представляє собою суму експоненційних функцій. Система буде стійкою, якщо виконується умова:
y (t)? 0, при t? ?. br/>
Це умова буде виконана тільки в одному випадку, якщо всі експоненти в правій частині рівності (3) прагнутимуть до нуля. А будь-яка експонентна функція від часу буде прагнути до нуля, якщо показник її ступеня буде негативним числом. Звідси можна зробити наступні висновки. Система САУ буде стійка, якщо:
1) всі корені p i характеристичного рівняння є дійсними негативними числами (p i <0);
2) якщо є пара комплексних і сполучених коренів типу p i, i +1 =? + _ J? , то в рівність (3) входять доданки:
Cie (? + j?) t + Ci +1 e (? - j?) t = Cie? t? ej? t + Ci +1 e? t? e-j? t =
= Cie? t? [cos (? t) + jsin (? t)] + Ci +1 e? t? [cos (? t) - jsin (? t)].
Тому при ? <0 і C i = C i +1 в графік функції y (t) дані доданки входять як затухаючі по амплітуді косинусоїдального складові.
Отже, необхідною і достатньою умовою стійкості САУ є наявність негативного знака дійсної частини коренів характеристичного рівняння . Вперше це умова для механічних систем сформулював і довів російський вчений А.М. Ляпунов.
За наявності, хоча б одного кореня з позитивною дійсною частиною графік функції y (t) представлятиме собою зростаючу експоненту або косінусоіду, і процес регулювання буде нестійким. p align="justify"> Якщо хоча б один з коренів (p i = 0), то функція y (t) буде містити постійну складову C i ...
