e pit = C i , що відповідає знаходженню САУ на межі стійкості.
В аналогічному стані буде перебувати система в разі наявності чисто уявних коренів характеристичного рівняння.
Розглянуте умова стійкості відноситься до лінійних САУ. Але практично всі реальні САУ є нелінійними і тільки наближено багато з них можна описати лінійними рівняннями. Так, наприклад, Ляпунов довів, що по стійкості линеаризованной системи можна судити про стійкість вихідної нелінійної системи. p align="justify"> Однак, для того, щоб з'ясувати, стійка система чи ні, не обов'язково вирішувати диференціальне рівняння, що дуже занадто при порядку рівняння більше 3. Досить визначити знаки дійсних частин коренів характеристичного рівняння за іншими критеріями. p align="justify"> З цією метою розроблені різні алгебраїчні критерії стійкості систем САУ, в основу яких покладено наступний принцип, Оскільки корені p i характеристичного рівняння визначаються коефіцієнтами а i , то за знаками останніх можна наближено оцінити стійкість систем.
Так алгебраїчні критерії, запропоновані Раусом, Гурвіцем і Неймарком, дозволяють оцінити стійкість системи за допомогою алгебраїчних операцій над коефіцієнтами характеристичного рівняння, у разі, якщо всі вони мають позитивні знаки.
Обмежимося з вами розглядом критерію стійкості Гурвіца.
За характеристическому рівнянням (4) складається головний визначник n-го порядку ? n , для чого за його головної діагоналі зліва на право виписуються коефіцієнти в порядку убування їх індексів, починаючи з а n-1 . У рядках лівіше головної діагоналі виписуються коефіцієнти з послідовно убутними індексами, а правіше - з зростаючими. Місця коефіцієнтів з індексами більше n і менше нуля заповнюються нулями.
? n = (5)
З головного визначника послідовним отчерківаніем m рядків і m стовпців, починаючи з діагонального елемента a n - 1 з індексом ( n - 1), знаходяться визначники (діагональні мінори):
? 1 =? 2 =;? 3 =; ...;? m = ... (6)
Для стійкості системи необхідно, щоб всі коефіцієнти характеристичного рівняння і всі визначники від ? 1 до ? n були позитивні: ? 1 > 0; ? 2 > 0; ? < span align = "justify"> 3 > 0; ...; ? m > 0; ...
Зокрема, для системи третього порядку критерій Гурвіца приймає більш простий вигляд: a 3 > 0; a 2 > 0; a 1 > 0; a 0 > 0;
? 2 == a1? a2 - a0? a3> 0. (7)
Поряд з алгебраїчними методами оцінки стійкості систем САУ часто застосовують частотні методи стійкості. У практиці найбільш широке застосування отримав критерій стійкості Михайлова, заснований на аналізі лівій частині характеристичного рівняння (4) замкнутої системи САУ після заміни в ньому оператора Лапласа р на комплексну змінну j? :
V (j?) = an? (j?) (n) + a (n-1)? (j?) (n-1) +??? + A1? (J?) + A0. (8)
Многочлен V ( j? ) являє собою вектор в комплексній площині, значення якого визначається величинами дійсної N (?) та уявної M ( j? ) складових: V ( j? ) = N (?) + jM ( ? ).
При зміні частоти від нуля до неск...
