3 + 1 = ( x + 1) ( x 2 - x + 1);
) P 4 ( x < span align = "justify">) = x 4 - x 3 + 4 x 2 - 4 x = x ( x -1) ( x 2 + 4).
Приклади розв'язання алгебраїчних рівнянь на множині комплексних чисел (Наведіть приклади розв'язання алгебраїчних рівнянь на множині комплексних чисел)
1. Алгебраїчні рівняння першого ступеня:
, - єдиний простий корінь.
Приклад
.
Відповідь:.
2. Квадратні рівняння:
, - завжди має два кореня (різних або рівних).
Приклади
).
Відповідь:.
).
Відповідь:.
),.
Відповідь:,.
. Двочленні рівняння ступеня:
, - завжди має різних коренів.
Приклад
,
;
;
.
Відповідь:,.
. Вирішити кубічне рівняння.
Рішення.
Рівняння третього ступеня має три кореня (дійсні або комплексні), при цьому потрібно рахувати кожен корінь стільки разів, яка його кратність. Так як всі коефіцієнти даного рівняння є дійсними числами, то комплексні корені рівняння, якщо вони є, будуть парними комплексно сполученими. p> Підбором знаходимо перший корінь рівняння, так як.
За слідству з теореми Безу. Обчислюємо це поділ В«в стовпчикВ»:
_ _ _
Представляючи тепер многочлен у вигляді добутку лінійно і квадратного множника, отримаємо:
.
Інші коріння знаходимо як корені квадратного рівняння:
.
Відповідь:,.
5. Скласти рівняння алгебри найменшій мірі з дійсними коефіцієнтами, якщо відомо, що числа x < span align = "justify"> 1 = 3 і x 2 = 1 + i є його корінням, причому x 1 є дворазовим коренем, а x 2 - простим.
Рішення.
Число теж є коренем рівняння, тому що коефіцієнти рівняння повинні бути дійсними.
Всього шукане рівняння має 4 кореня: x 1, x 1, x 2,. Тому його ступінь дорівнює 4. Складаємо многочлен 4-го ступеня з нулями x 1, x 1, x 2, за формулою (6):
Гћ
В В В
.
Искомое рівняння має вигляд P 4 ( x ) = 0.
Відповідь:.
Питання для самоперевірки
1. Сформулюйте визначення комплексного числа
. Що називається комплексним числом ?
. Яку назву або сенс має формула? p>. Поясніть сенс позначень у цій формулі:
. ? .
. Що таке уявна одиниця ?
. Що таке дійсна частина комплексного числа z ?
. Що таке уявна частина комплексного числа z ?
. Що таке комплексно поєднане число ?
. Що таке протилежне число ?
. Що таке комплексний нуль ?
. Що таке чисто уявне число ?
. Сформулюйте сенс комплексного рівності.
. У чому полягає геометричне зображення комплексних чисел?
. Що таке модуль і аргумент комплексного числа?
. Що називається модулем комплексного числа ?
. Що таке аргумент комплексного числа ?
. Яку назву або сенс має формула? p>. Поясніть сенс позначень у цій формулі:
. ? .
. Що таке алгебраїчна і тригонометрическая форми комплексного числа?
. Яку назву або сенс має формула? p>. Поясніть сенс позначень у цій формулі:
. ? .
. Що називається алгебраїчної формою комплексного числа ?
. Що називається тригонометричної формою комплексного числ...
