ча апроксимує диференціальну крайову задачу з порядком і є стійкою на парі просторів , то наближене рішення сходиться до точного сіткового рішенням з порядком p щодо h.
Доказ:
З того, що різницева крайова задача апроксимує диференціальну крайову задачу, слід, що . За визначенням цієї межі для позитивного числа (з визначення стійкості) знайдеться позитивне число H, таке, що буде виконано нерівність . Тут враховано, що h позитивно, а норма неотрицательна. Задамо будь h з і покладемо . Тоді і, згідно (1.4.2), різницева крайова задача
В
матиме єдине рішення . Зауважимо, що права частина цього рівняння і, отже, виконується рівність . Це означає, що є рішенням цієї ж різницевої крайової задачі, а оскільки рішення цього завдання єдино, . Тоді з (1.4.18) отримаємо:
.
похідна апроксимація крайової завдання
З того, що різницева крайова задача апроксимує диференціальну крайову задачу з порядком , випливає, що . Звідси . Що і потрібно було довести.
Доведена теорема дозволяє проводити дослідження збіжності наближеного рішення до точного в 2 етапи. Спочатку знаходиться порядок апроксимації різницевої схеми, а потім доводиться її стійкість. Як показує приклад 4, визначення порядку апроксимації різницевих схем особливих труднощів не становить. Більше того, зазвичай вирішується більш складне завдання - це завдання побудови різницевої схеми із заданим порядком апроксимації. Один з методів її вирішення ми і розглянемо в наступному параграфі. p align="justify"> Глава 2. Рішення змішаної крайової задачі для гіперболічного рівняння різницевим методом
2.1 Загальна постановка задачі
Розглянемо загальну постановку змішаної крайової задачі для гіперболічного рівняння.
В області D = {0 ,? знайти двічі безперервно дифференцируемую функцію , яка в цій області задовольняла б рівнянням:
(2.1...
