(9),
де (8) k ОЇ = k ОЇ-1/n-1 + k ОЇ/n-1 - біномінальні коефіцієнти для ступеня n; (вищезгадану властивість
біномінальної коефіцієнтів (8));
ОЇ = 2, 4, 6, 8; ...;
k 2 = N - другий біномінальної
коефіцієнт для ступеня n;
k ОЇ-1/n-1 і k ОЇ/n-1 - два біномінальної послідовних коефіцієнта для ступеня n - 1.
Отже, враховуючи (5), (6), (7), (9), рівняння (4) приймає вигляд:
a n = b 2 + cd 2 (1), де
a = О± 2 + cОІ 2
b = О± n - ck 3 О± n-2 ОІ 2 + c 2 k 5 О± n-4 ОІ 4 - c 3 k 7 О± n-6 ОІ 6 + ... p> d = nО± n-1 ОІ - ck 4 О± n-3 ОІ 3 + c < sup> 2 k 6 О± n-5 ОІ 5 - C 3 k 8 О± n-7 ОІ 7 + ...,
є рішеннями рівняння (1) при c = const;
k i - Біномінальної коефіцієнт ступеня n;
i = 3, 4, 5, 6, 7; 8 ...;
k 1 = 1, k 2 = n, n> 1 - натуральна ступінь. p> Затвердження доведено.
Скворцов Олександр Петрович, вчитель, ветеран педагогічної праці;
р. Колпашево Томської області, серпень 2009 року. p> Перша завдання рецензована в 1996 р. доктором фізико математичних наук. p> Всі три завдання трохи пізніше рецензовані томським спеціалістом математиком Тимошенко Є. (на жаль, ні імені, ні по батькові його я не знаю), якого для цієї мети на моє прохання знайшов ректор ТПУ Похолков Юрій Петрович, за що я їм усім дуже і дуже вдячний. p> Відгук фахівців про мою роботу непоганий. Ось витяг з В«Рецензії на роботу Скворцова А.П. В«Кілька завдань, теорем і тверджень з теорії чиселВ» В» Тимошенко Є.: В«У даній роботі особливий інтерес представляють докази нерозв'язності в раціональних ненульових числах рівняння р 1 + р 2 = р 3, де р 1 * р 2 * р 3 = R 3 , де R - раціональне число (Завдання 1. Автор), і нерозв'язності в раціональних ненульових числах системи , (Завдання 2. Автор). p> Автор вказує досить широке сімейство рішень рівняння a n = b 2 + cd 2 (1), залежне від двох параметрів і (Завдання 3. Автор) . Так, для рівняння (2) a 3 = b 2 + cd 2 наводиться рішення а = О± 2 + cОІ < sup> 2 , b = О± 3 - 3cО±ОІ 2 , d = 3О± 2 ОІ - CОІ 3 (3). p> До жаль, залишається недоведеним, що це рішення - загальне, тобто не ясно, будь Чи рішення рівняння (2) може бути представлено у вигляді (3). Те ж саме можна сказати і про рішення рівняння (1). ... В». На жаль, це питання для мене до досі залишається відкритим. Хоча, якщо моя думка когось цікавить, інтуїція мені підказує, що знайдене мною рішення рівняння (1) - єдине. Однак я добре розумію, що інтуїція - це ще не факт. p> Думаю, що фахівцям дана Завдання 3 та її доказ відомі. Проте особисто мені вона на очі не потрапляла. Надалі в одній з чергових робіт результати цього завдання мені стали в нагоді. p> Що стосується перших двох завдань, то вони мені теж подобаються, і, думаю, можуть викликати інтерес не тільки у фахівців, але й у студентів і школярів на факультативних заняттях.
А.П. Скворцов. br/>
