ливального руху, описуваного рівнянням (2.2), - це рух математичного маятника; , де - довжина маятника; - прискорення сили тяжіння і - приєднана маса. Мінлива аналогічна фазової помилку в системі ФАП. Якщо припустити, що мало, так що рівняння (2.2) можна линеаризовать (тобто ), тоді, щоб застосувати лінійну теорію, (2.2) можна замінити на
, . (2.3)
З попереднього обговорення випадку , випливає, що це рівняння відповідає періодичному руху з періодом ; таким чином, період не залежить від початкової швидкості та початкової відхилення. При великих відхиленнях рівняння (2.3) несправедливо і необхідно звертатися до інших методів аналізу.
Перший інтеграл рівняння нелінійної консервативної системи можна легко отримати, так як підстановка
(2.4)
зводить (2.2) до диференціального рівняння першого порядку, з якого виключено час:
, (2.5)
а змінні розділяються, тобто
. (2.6)
Якщо при маємо , то інтегрування обох частин дає
, (2.7)
що виражає закон збереження енергії. Ліва частина цієї рівності представляє зміну кінетичної енергії; права частина - роботу, виконану відновлювальної силою, або зміна потенційної енергії. Згідно (2.7) маємо
. (2.8)
Поділяючи змінні і інтегруючи вдруге, можна знайти час як функцію відхилення:
. (2.9)
Необхідно розуміти, що слід переходити з однієї гілки квадратного кореня на іншу, коли проходить через нуль. Криві, що задаються (2.7), проходять на площині , через точку з координатами , і являють собою криві постійної енергії; часто їх називають кривими енергії на фазовій площині. Як побачимо згодом, звідси досить легко отримати важливу інформацію про основні якісних сторонах руху. Оскільки
