льш часто зустрічається задача оптимізації портфеля була вперше описана Г. Марковичем та має наступну постановку. Припустимо, що заданий певний рівень прибутковості, нижче якого інвестор не хотів би мати очікувану прибутковість. Тоді оптимальний портфель вибирається серед усіх можливих так, щоб ризик інвестицій, який визначається дисперсією прибутковості портфеля, був мінімальним. У нашому простому випадку задача Марковіца може бути формалізована таким чином:
В
В
Рис. 4. Ілюстрація до задачі Марковіца
Природно припустити, що, інакше завдання або не має рішення, або стає тривіальною. Так як - зростаюча функція на відрізку [0, 1], її мінімум досягається в мінімально можливому значенні, визначеним умовою. У силу того, що також зростає на [0, 1], мінімальне можливе значення визначається рівнянням (див. рис. 4.). Таким чином, має місце рівність
В
з якого знаходимо значення:
В
Відповідно,
В
Таким чином, оптимальний портфель в задачі Марковіца в простому випадку безризикового і ризикового активів визначається наступною парою:
В
Неважко переконатися, що очікувана прибутковість і середнє квадратичне відхилення з оптимального портфелю в цьому випадку знаходяться за формулами:
В
. Співвідношення В«ризик-прибутковістьВ». Перевагу інвестора визначається мінімізацією деякої функції, яка зв'язує ризик і прибутковість кожного портфеля. Нехай, як і колись,. Введемо функцію ризикованості наступним чином:
В
Тут коефіцієнт q> 0 визначає перевагу прибутковості перед ризиком для кожного інвестора. Якщо інвестор більшою мірою віддає перевагу визначати свої вкладення прибутковістю, ніж ризиком, то він вибирає коефіцієнт з великим значенням. Якщо ж для інвестора більш важливим є ризик, то він вибере коефіцієнт q маленьким. p> У підсумку завдання оптимізації портфеля в цьому випадку має наступний формальний вигляд:
В
Як видно, функція є квадратним тричленної з позитивним старшим коефіцієнтом. Тому графік цієї функції являє параболу, гілки якої спрямовані вгору. Значить, функція має глобальний мінімум, визначається вершиною параболи. Координата вершини параболи дорівнює
(15)
Так як, координата. Розглянемо два різних варіанти вибору оптимального портфеля. Перший варіант виникає в ситуації, коли. Так як в цьому випадку функція спадає на всьому відрізку [0, 1], її мінімум на відрізку [0, 1] досягається в точці. Неважко помітити, що нерівність еквівалентно умові
В
Це зручно переписати в наступному вигляді:
(16)
Якщо це нерівність не виконано і має місце наступне співвідношення:
В
то і мінімум функції на відрізку [0, 1] досягається в точці. Тоді оптимальний портфель вибирається за другим варіантом і дорівнює. У силу формули (15) неважко ...
