= 0. (20)
де d = з Вў - b12/l1 - b22/l2. Тоді ми його перетворимо так:
l1 (x ВІ) 2 + l2 (y ВІ) 2 + 2b3 (z Вў + d/2b3) = 0
і здійснюємо заміну координат z ВІ = z Вў + d/2b3. Зверніть увагу на те, що робити заміну z ВІ = 2b3z Вў + d можна, тому це не буде еквівалентно переходу до нової декартовій системі координат. Після заміни отримаємо рівняння виду
l1 (x ВІ) 2 + l2 (y ВІ) 2 =-2b3z ВІ. (21)
При цьому ми виписуємо заміну координат:
x ВІ = x Вў + b1/l1, ВІ = y Вў + b2/l2, ВІ = z Вў + d/2b3,
Ця заміна означає перенесення початку координат в точку O Вў (-b1/l1, -b2/l2, -d/2b3) Ox Вў y Вў z Вў.
Припустимо, що серед чисел l1, l2, l3 тільки одне відмінно від нуля. Тоді ми можемо вважати, що саме l1 В№ 0. Після виділення повних квадратів може вийти рівняння виду
l1 (x ВІ) 2 +2 b2y Вў + 2b3z Вў + d = 0. (22)
Це найбільш складний випадок. Тут необхідно зробити таку заміну, щоб замість двох змінних y Вў і z Вў залишилася одна змінна y ВІ. При цьому, шукана заміна змінних повинна здійснюватися за допомогою ортогональної матриці. Цим вимогам задовольняє заміна
ВІ = (b2/k) y Вў + (b3/k) z Вў,
z ВІ = - (b2/k) y Вў - (b3/k) z Вў,
де k =. Здійснивши її, отримаємо рівняння
l1 (x ВІ) 2 +2 ky ВІ + d = 0. (23)
Подібне рівняння може вийти і відразу після виділення повних квадратів. У прикладі 7 ми на практиці розберемо, яку саме слід здійснити заміну координат, з тим, щоб отримати відразу рівняння (23) замість (22). Потім, ми позбавляємося від вільного члена, так само як і в рівнянні (20) і отримуємо рівняння виду
l1 (x ВІ) 2 =-2ky ВІ. (24)
Отже, будь-яке рівняння кривої другого порядку може бути приведене шляхом переходу до нової декартовій системі координат до рівняння типу (19), (21) або (24). Якщо повернутися до вихідних позначень для координат, ці рівняння приймуть відповідно вигляд
l1 (x ВІ) 2 + l2 (y ВІ) 2 + l3 (z ВІ) 2 + d = 0;
l1 (x ВІ) 2 + l2 (y ВІ) 2 =-2b3z ВІ;
l1 (x ВІ) 2 =-2ky ВІ.
Далі, в залежності від знаків величин l1, l2, l3, b3, d, ці рівняння можуть бути легко перетворені до одного з канонічних рівнянь поверхонь другого порядку. Список канонічних рівнянь кривих і поверхонь другого порядку викладено в Додатку. p> Цей же метод можна застосувати і для приведення до канонічного виду рівняння кривої другого порядку. Як це можна зробити показує наступний приклад. p> Приклад 4. Щодо декартової системи координат Oxy на площині крива визначається рівнянням
y2 - 4xy + 4x + 2y -1 = 0. (25)
Шляхом переходу до нової декартовій системі координат привести рівняння кривої до канонічного виду і визначити тип кривої. Зобразити криву в системі координат Oxy. p> Рішення. Нехай k () = 3y2 - 4xy
є квадратична частина рівняння к...
