ехай, наприклад, . Тоді маємо два випадки:
- еліптичний параболоїд.
- гіперболічний параболоїд.
2.3 Відповіді на теоретичні питання
Записати загальне рівняння фігури другого порядку на площині.
В
Записати загальне рівняння в матричному вигляді.
Що називається квадратичною формою, відповідної рівнянню ? Записати матрицю А цієї квадратичної форми.
Сума перших трьох членів
В
є квадратичною формою двох змінних . Матриця цієї форми має вигляд
В
Нехай у системі координат () фігура задана рівнянням або
+ + = 0
Як знайти такий ортонормованій базис , щоб квадратична форма, відповідна рівнянню даної фігури в системі координат ( ) мала канонічний вигляд ?
Знаходимо ортогональне перетворення, що приводить квадратичну форму, відповідну даному рівнянню, до канонічного виду.
За цим перетворенню знаходимо головні напрямки фігури, тобто вектори - ортонормированного власні вектори матриці квадратичної форми, яка відповідає даному рівнянню. Ортонормованій базис ми знаходимо за допомогою формул:
В В
де - власні вектори, - їх довжини.
. Записати відповідний канонічний вигляд квадратичної форми
В
. Записати рівняння даної фігури в системі координат ()
В
За якої умови рівняння визначає фігуру:
а) еліптичного типу;
б) гіперболічного типу;
в) параболічного типу?
Якщо , то рівняння визначає фігуру еліптичного типу;
якщо її - гіперболічного;
якщо - параболічного типу, де А - матриця квадратичної форми.
Записати загальне рівняння фігури другого порядку ...