fy"> з ортогональної матрицею переходу Т. При підстановці цих виразів у рівняння поверхні в загальному вигляді
В
група членів другого ступеня і група членів першого ступеня перетворюються незалежно один від одного. Якщо слідкувати спочатку тільки за групою членів другого ступеня (квадратичною формою), то (на підставі п. Квадратичні форми) отримуємо, що завжди можна вибрати систему координат так, що ця група членів придбає В«діагональний виглядВ» і тому всі рівняння після перетворення буде мати вигляд
(10)
де - корені рівняння
В
- деякі нові коефіцієнти при членах першого ступеня, які самі виходять після підстановки (9).
Подальше дослідження йде по-різному, залежно від знаків характеристичних коренів. Нехай, наприклад, всі мають однаковий знак: тоді можна вважати, що вони позитивні, тому що в противному випадку можна у всього рівняння (10) перемінити знак. За допомогою доповнення до квадрата і подальшого паралельного перенесення, можна від (10) перейти до рівняння
В
тобто
.
Залежно від того, чи буде , або , вийде еліпсоїд, уявний еліпсоїд або крапка.
Аналогічно виходить, що якщо з чисел два мають однаковий знак, а третє - протилежний, то рівняння (10) являє гіперболоїд (однопорожнинний або двуполостного) або конус. Якщо з чисел рівно одне одно нулю, наприклад, , а відмінно від нуля, то виходить еліптичний або гіперболічний параболоїд. Можна перевірити, що у всіх інших випадках виходять циліндри або особливі випадки (уявна поверхню, виродження в пряму лінію, розпадання на пару площин).
Аналізуючи вище сказане, можемо зробити висновок, що при можливі наступні випадки:
- еліпсоїд.
- однопорожнинний гіперболоїд.
- двуполостного гіперболоїд.
- В«порожній безлічВ» точок (уявний еліпсоїд).
Якщо
з = 0 і одного знака, виходить точка (В«уявний конусВ»);
при с = 0 і різних знаків - конус.
Якщо один з коефіцієнтів дорівнює нулю, н...
