Із знаком старшого члена. p>
Теорема 15 (Декарта). Кількість додатних коренів многочлена з дійснімі коефіцієнтамі
(30)
дорівнює або на хлопцеві число менше від числа змін знаків у послідовності его Коефіцієнтів.
Доведення. 1) Спочатку доведемо, что число додатних коренів многочлена (30) має таку саму парність, что ї число змін знаків у ряді его Коефіцієнтів. p> Позначімо число змін знаків у ряді Коефіцієнтів через. Старший коефіцієнт. Можна такоже вважаті, что Вільний член, бо в протилежних випадка многочлен (30) МАВ бі корінь, и можна Було б розглядаті многочлен, знайдення з (30) діленням на. p> Розглянемо два випадка. Если - хлопця, то и одного знака. Альо =, тоб дорівнює значень многочлена в точці має тієї самий знак, что ї старший член, тоб знак збігається Із знаком. Отже, при парному значення І мают однакові знаки, того неперервно крива перетінає Вісь на сегменті обовязково в парному чіслі точок (зокрема, точок Перетин может НЕ буті зовсім), тоб на цьом сегменті є хлопцеві число додатних коренів. p> Оскількі за теоремою 12 поза сегментом додатних коренів буті НЕ може, то для випадка парного Твердження доведено, тоб показано, что число додатних коренів має ту саму парність, что и число змін знаків у ряді Коефіцієнтів. При непарному міркування аналогічні: і мают протілежні знаки, того й та мают протілежні знаки, у звязку з чим число додатних коренів непарного. p> Значить, в усіх випадка має ту саму парність, что ї число додатних коренів.
) Отже залішається довести, что число додатних коренів многочлена (30) НЕ может перевіщуваті число, або на хлопцеві число менше за нього.
Доведемо це методом індукції. Нехай. Для многочлена 1-го степеня число додатних коренів НЕ может перевіщуваті числа змін знаків у послідовності. Справді, число змін знаків дорівнює нулю або одініці. У первом випадка єдиний корінь відємній, у іншому випадка корінь додатний. Отже, число додатних коренів цього многочлена дорівнює числу змін знаків. p> Нехай тепер наше Твердження справедливе для многочленів-го степеня. Доведемо его для многочлена-го степеня
В
Число змін знаків у послідовності Коефіцієнтів цього многочлена, як и раніше, позначімо через, а число додатних коренів - через. Знайдемо похідну:
.
Похідна є многочленом-го степеня, причому число 1 змін знаків у послідовності Коефіцієнтів
В
дорівнює або, або, бо множення Коефіцієнтів многочлена на і т.д. НЕ змінює їх знаків, а одного коефіцієнта немає.
За припущені індукції число додатних коренів похідної НЕ может перевіщуваті 1. Тому, згідно з наслідком з теореми Ролля, число додатних коренів многочлена НЕ можна перевіщуваті 1 +1, тоб 1 +1. Альо 1. Тому +1. Прото Рівність Неможливо, бо и числа однієї парності. Отже,, и для рівняння-го степеня число додатних коренів НЕ перевіщує числа змін знаків у послідовності его Коефіцієнтів. Теорему доведено. p> Зауваження. Прав...
